Sejam f e g duas funções de \mathbb{R} em \mathbb{R}, definidas por:
f(x)=x+3, se x \leq 3 e x-4, se x>3,
g(x)=2 x-7, \forall x \in \mathbb{R}.
Determine f \circ g e g \circ f.

Passo 1

O enunciado dá duas funções [f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}) definidas por
f(x)= \begin{cases} x+3, & x\le 3,\\\ x-4, & x>3, \end{cases} \quad g(x)=2x-7,\;\forall x\in\mathbb{R}.
Pede-se as composições f\circ g\] e \(g\circ f. Vamos usar substituição direta e depois verificar em que partes do domínio cada ramo de f entra em ação.

Passo 2

Para calcular (f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr), substituímos g(x)=2x-7 no lugar de x em f. Assim
(f\circ g)(x)= \begin{cases} (2x-7)+3, & \text{se }\,2x-7\le 3,\\\ (2x-7)-4, & \text{se }\,2x-7>3. \end{cases}

Passo 3

Resolvendo a desigualdade 2x-7\le3, temos
2x\le10 \quad\Longrightarrow\quad x\le5.
Logo o ponto de quebra na definição de f\circ g é x=5.

Passo 4

Portanto
(f\circ g)(x)= \begin{cases} 2x-4, & x\le5,\\\\ 2x-11, & x>5. \end{cases}

Passo 5

Agora (g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr). Como g(t)=2t-7, basta substituir t=f(x). Usando o mesmo particionamento de f:
(g\circ f)(x)= \begin{cases} 2\,(x+3)-7, & \text{se }x\le3,\\\\ 2\,(x-4)-7, & \text{se }x>3. \end{cases}

Passo 6

Simplificando cada expressão:
(g\circ f)(x)= \begin{cases} 2x-1, & x\le3,\\\\ 2x-15, & x>3. \end{cases}

Resposta

(f\circ g)(x)= \begin{cases} 2x-4, & x\le5,\\\\ 2x-11, & x>5, \end{cases} \quad (g\circ f)(x)= \begin{cases} 2x-1, & x\le3,\\\\ 2x-15, & x>3. \end{cases}

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