Um fabricante de alimentos enlatados sabe, por experiência passada, que o tempo de prateleira de seus alimentos é uma variável aleatória que tem distribuição normal com média de 600 dias e desvio padrão de 110 dias.
a) Qual é a probabilidade de um alimento, escolhido ao acaso, durar:
i) mais de 750 dias?
ii) entre 400 e 800 dias?
b) O comprador recebe uma garantia do fabricante de 320 dias, isto é, o fabricante substituirá todos os alimentos que estragarem antes de 320 dias. Sabendo-se que são fabricados 20000 enlatados por mês, quantos enlatados o fabricante terá que substituir mensalmente, devido à garantia dada?

Passo 1

O enunciado diz que o tempo de prateleira X dos alimentos é normalmente distribuído com média \mu=600 dias e desvio-padrão \sigma=110 dias, ou seja,
X\sim N(600,\,110^2).
Para responder às questões, vamos usar a padronização
Z = \frac{X - \mu}{\sigma},
onde Z segue a distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 2

(i) Queremos P(X>750). Primeiro calculamos o escore- Z:
z = \frac{750 - 600}{110} = \frac{150}{110} \approx 1,36.
Então
P(X>750) = P\bigl(Z>1,36\bigr) = 1 - \Phi(1,36).
Pela tabela da normal padrão \Phi(1,36)\approx0,9131. Logo
P(X>750) \approx 1 - 0,9131 = 0,0869.

Passo 3

(ii) Queremos P(400<X<800). Calculamos dois escores:
z_1 = \frac{400 - 600}{110} = -\frac{200}{110} \approx -1,82, \quad z_2 = \frac{800 - 600}{110} = \frac{200}{110} \approx 1,82.
Então
P(400<X<800) = \Phi(1,82) - \Phi(-1,82).
Pela tabela, \Phi(1,82)\approx0,9656 e \Phi(-1,82)=1-\Phi(1,82)\approx0,0344. Logo
P(400<X<800)\approx0,9656 - 0,0344 = 0,9312.

Passo 4

(b) Agora queremos o número médio de substituições mensais, isto é,
20000 \times P(X<320).
Calculamos o escore para x=320:
z = \frac{320 - 600}{110} = -\frac{280}{110} \approx -2,55.
Da tabela, \Phi(-2,55)\approx0,0054. Assim o fabricante substituirá, em média,
20000 \times 0,0054 = 108
latas por mês.

Resposta

a(i) P(X>750)\approx0,0869.
a(ii) P(400<X<800)\approx0,9312.
b) Cerca de 108 enlatados por mês.

Exercícios relacionados