Determinar a solução da equação: 5 \cdot 2^{2 x}-4^{2 x-\frac{1}{2}}-8=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
5 \cdot 2^{2x} \;-\; 4^{\,2x-\tfrac12}\;-\;8 \;=\;0.
O conteúdo envolve propriedades de potências (mesma base) e redução a uma equação quadrática via substituição.

Passo 2

Reescrevemos tudo em função de 2^{2x}. Note que
4^{\,2x-\tfrac12} =4^{2x}\cdot4^{-\tfrac12} =(4^x)^2\cdot\frac1{\sqrt4} =(2^{2x})^2\cdot\frac12.
Defina
t = 2^{2x}.
Então a equação original vira
5t \;-\;\frac{t^2}{2}\;-\;8=0.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador, obtemos
10t - t^2 -16 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 -10t +16 = 0.
Esta é uma equação quadrática cujas raízes são
t = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4\cdot1\cdot16}}{2} =\frac{10 \pm \sqrt{100 -64}}{2} =\frac{10 \pm 6}{2},
logo
t=8 \quad\text{ou}\quad t=2.

Passo 4

Voltando à substituição t=2^{2x}, resolvemos cada caso:
  1. Se 2^{2x}=8=2^3, então 2x=3 e
x=\frac32.
  1. Se 2^{2x}=2=2^1, então 2x=1 e
x=\frac12.

Resposta

As soluções da equação são
x = \tfrac12 \quad\text{e}\quad x = \tfrac32.

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