Resolva a equação exponencial \frac{3^{x}+3^{-x}}{3^{x}-3^{-x}}=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
\frac{3^{x}+3^{-x}}{3^{x}-3^{-x}} = 2.
O conteúdo envolve equações exponenciais que podem ser tratadas por substituição e transformação em uma equação racional.

Passo 2

Seja y = 3^{x}. Então 3^{-x} = 1/y. Substituindo na equação original e multiplicando numerador e denominador por y, temos
\frac{y + \tfrac{1}{y}}{y - \tfrac{1}{y}} = \frac{y^2 + 1}{y^2 - 1} = 2.

Passo 3

A igualdade
\frac{y^2 + 1}{y^2 - 1} = 2
implica
y^2 + 1 = 2\,(y^2 - 1) \quad\Longrightarrow\quad y^2 = 3.
Como y = 3^x > 0, segue y = \sqrt{3}.

Passo 4

Voltando à variável x, obtemos
3^x = \sqrt{3} = 3^{\frac12} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac12.
Verifica-se que 3^x - 3^{-x}\neq0 para este valor, então a solução é válida.

Resposta

x = \tfrac12

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