Um fabricante de automóveis afirma que um determinado modelo de seus carros, de massa \mathrm{m}=1000 \mathrm{~kg}, acelera uniformemente do repouso até uma velocidade de módulo \mathrm{v}= 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}(108 \mathrm{~km} / \mathrm{h}) em 10 s . Neste intervalo de tempo, qual a potência média desenvolvida pelo carro?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos pelo enunciado:
    • massa do carro: m=1000\\ \mathrm{kg}.
    • velocidade final (módulo): v=30\\ \mathrm{m/s}.
    • tempo gasto para acelerar do repouso até v: \Delta t=10\\ \mathrm{s}.
    • o carro parte do repouso, então a velocidade inicial é v_0=0.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a potência média desenvolvida pelo carro durante esse intervalo de tempo.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Potência média: é a energia fornecida por unidade de tempo, ou seja, a razão entre o trabalho realizado (ou energia transferida) e o tempo gasto. Em símbolos:
P_{\text{méd}}=\frac{\Delta W}{\Delta t},é
onde \Delta W é o trabalho total realizado no intervalo de tempo \Delta t.
  • Teorema da energia cinética: quando uma força (resultante) acelera um corpo, o trabalho feito por essa força altera a energia cinética do corpo. Se desprezarmos perdas por atrito, resistência do ar etc., o trabalho total realizado sobre o carro para acelerá‑lo do repouso até v é igual à variação da energia cinética:
\Delta W=\Delta K=K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}}.
A energia cinética de um corpo de massa m e velocidade v é
K=\frac{1}{2} m v^{2},
onde m é a massa (em \mathrm{kg}) e v é a velocidade (em \mathrm{m/s}). Aqui K_{\text{inicial}}=0 porque v_0=0.
Portanto, para este problema, podemos calcular \Delta W usando a fórmula da energia cinética e depois dividir por \Delta t para obter P_{\text{méd}}é.

Passo 3

Calcular a variação da energia cinética com os números dados.
  • Primeiro calcule v^{2}:
v^{2} = (30\\ \mathrm{m/s})^{2} = 900\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Agora a energia cinética final:
K_{\text{final}}=\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2}\cdot(1000\\ \mathrm{kg})\cdot(900\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}).
  • Faça a conta passo a passo:
\frac{1}{2}\cdot1000 = 500,
500 \cdot 900 = 450000.
Logo
\Delta W = K_{\text{final}}-0 = 450000\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a potência média dividindo a energia pelo tempo.
P_{\text{méd}}=\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{450000\\ \mathrm{J}}{10\\ \mathrm{s}}=45000\\ \mathrm{W}.é
Para interpretar: 45000\\ \mathrm{W}=45\\ \mathrm{kW}. É a potência média mecânica entregue ao carro durante a aceleração, assumindo que toda a energia fornecida entrou na energia cinética (sem perdas).

Passo 5

Verificação alternativa (mesma resposta por outro método, útil para fixar a ideia):
  • Aceleração média (constante) é \displaystyle a=\frac{v-v_0}{\Delta t}=\frac{30-0}{10}=3\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Força resultante necessária: \displaystyle F=m a=1000\cdot3=3000\\ \mathrm{N}.
  • Como a força é constante e a velocidade varia linearmente de 0 a v, a potência instantânea é P(t)=F v(t) e a potência média é F vezes a velocidade média \bar v.
  • Velocidade média no intervalo é \bar v=(v_0+v)/2=(0+30)/2=15\\ \mathrm{m/s}.
  • Assim P_{\text{méd}}=F\bar v=3000\cdot15=45000\\ \mathrm{W}é, que coincide com o resultado anterior.

Resposta

P_{\text{méd}}=4{,}5\times10^{4}\\ \mathrm{W}=45\\ \mathrm{kW}é

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