- A força (em newtons) agindo sobre uma partícula é dada por
, em que x está em metros. Utilizando o cálculo integral, calcule o trabalho resultante feito por essa força sobre a partícula quando ela se deslocar de
até
.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar claramente o que está sendo pedido e os dados fornecidos):
- A força como função da posição é
, onde está em metros e em newtons. (Peguei essa expressão do enunciado.) - A partícula se desloca de
até (em metros). (Peguei esses limites do enunciado.) - O que se pede: calcular o trabalho resultante realizado por essa força ao realizar o deslocamento de
até .
Passo 2
O que é trabalho e por que usamos integral aqui (explicação didática e simples).
- Trabalho é a energia transferida por uma força ao deslocar um objeto. Para uma força constante ao longo de um deslocamento, o trabalho é
. - Quando a força varia com a posição, como aqui
, subdividimos o percurso em muitos pedaços pequenos onde a força é quase constante e somamos as contribuições. Essa soma, no limite em que os pedaços ficam infinitesimais, vira uma integral definida. - Portanto, para uma força unidimensional
, o trabalho entre e é
Aqui
tem unidades de newton·metro, que equivalem a joules (
). Eu usei a definição integral do trabalho para explicar por que fazemos essa conta.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao problema: montar a integral com os dados que temos.
- Substituindo
, e , obtemos a integral
Passo 4
Regra de integração que vou usar (aula rápida sobre a técnica).
- Regra do poder: para
,
- A integral é linear, então
- Vou aplicar a regra do poder a cada termo. Aqui as variáveis são
(posição), as constantes e são fatores que saem da integral; é a constante de integração que não aparece na integral definida porque vamos avaliar entre limites.
Passo 5
Calcular a primitiva (antiderivada) explicitamente, mostrando passo a passo.
- Para o primeiro termo:
Expliquei: multiplico 8 por
.
- Para o segundo termo:
Expliquei: multiplico 16 por
.
- Assim a primitiva é
Passo 6
Avaliar a integral definida entre os limites
e
, detalhando as contas numéricas passo a passo.
- Avaliando em
:
Calculemos com calma:
Portanto
- Avaliando em
:
Calculemos:
Portanto
- Subtraindo para obter o trabalho:
Passo 7
Interpretação final e unidades.
- O resultado
está em unidades de newton·metro, ou seja joules. Posso escrever . - Pequeno incentivo: pronto — fizemos a integral com calma, checando cada potência e cada multiplicação. Se ficar nervoso na prova, lembre-se de dividir em etapas como fiz aqui.