1. A força (em newtons) agindo sobre uma partícula é dada por \mathrm{F}_{\mathrm{x}}=8 \mathrm{x}^{3}+16 \mathrm{x}, em que x está em metros. Utilizando o cálculo integral, calcule o trabalho resultante feito por essa força sobre a partícula quando ela se deslocar de \mathrm{x}_{\mathrm{i}}=2 até \mathrm{x}_{\mathrm{f}}=8 \mathrm{~m}.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar claramente o que está sendo pedido e os dados fornecidos):
  • A força como função da posição é \mathrm{F}_{x}=8 x^{3}+16 x, onde x está em metros e \mathrm{F}_{x} em newtons. (Peguei essa expressão do enunciado.)
  • A partícula se desloca de x_{\mathrm{i}}=2 até x_{\mathrm{f}}=8 (em metros). (Peguei esses limites do enunciado.)
  • O que se pede: calcular o trabalho resultante realizado por essa força ao realizar o deslocamento de x_{\mathrm{i}} até x_{\mathrm{f}}.

Passo 2

O que é trabalho e por que usamos integral aqui (explicação didática e simples).
  • Trabalho é a energia transferida por uma força ao deslocar um objeto. Para uma força constante ao longo de um deslocamento, o trabalho é \text{força}\times\text{deslocamento}ç.
  • Quando a força varia com a posição, como aqui \mathrm{F}_{x}=\mathrm{F}_{x}(x), subdividimos o percurso em muitos pedaços pequenos onde a força é quase constante e somamos as contribuições. Essa soma, no limite em que os pedaços ficam infinitesimais, vira uma integral definida.
  • Portanto, para uma força unidimensional \mathrm{F}_{x}(x), o trabalho entre x=a e x=b é
W=\int_{a}^{b} \mathrm{F}_{x}(x)\,dx.
Aqui W tem unidades de newton·metro, que equivalem a joules ( \mathrm{J}). Eu usei a definição integral do trabalho para explicar por que fazemos essa conta.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao problema: montar a integral com os dados que temos.
  • Substituindo \mathrm{F}_{x}(x)=8x^{3}+16x, a=x_{\mathrm{i}}=2 e b=x_{\mathrm{f}}=8, obtemos a integral
W=\int_{2}^{8} \bigl(8x^{3}+16x\bigr)\,dx.

Passo 4

Regra de integração que vou usar (aula rápida sobre a técnica).
  • Regra do poder: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
  • A integral é linear, então
\int \bigl(8x^{3}+16x\bigr)\,dx = 8\int x^{3}\,dx + 16\int x\,dx.
  • Vou aplicar a regra do poder a cada termo. Aqui as variáveis são x (posição), as constantes 8 e 16 são fatores que saem da integral; C é a constante de integração que não aparece na integral definida porque vamos avaliar entre limites.

Passo 5

Calcular a primitiva (antiderivada) explicitamente, mostrando passo a passo.
  • Para o primeiro termo:
\int 8x^{3}\,dx = 8\cdot\frac{x^{4}}{4}=2x^{4}.
Expliquei: multiplico 8 por 1/(3+1)=1/4.
  • Para o segundo termo:
\int 16x\,dx =16\cdot\frac{x^{2}}{2}=8x^{2}.
Expliquei: multiplico 16 por 1/(1+1)=1/2.
  • Assim a primitiva é
\mathcal{F}(x)=2x^{4}+8x^{2}.

Passo 6

Avaliar a integral definida entre os limites 2 e 8, detalhando as contas numéricas passo a passo.
  • Avaliando em x=8:
\mathcal{F}(8)=2\cdot 8^{4}+8\cdot 8^{2}.
Calculemos com calma:
8^{2}=64,\qquad 8^{4}=8^{2}\cdot 8^{2}=64\cdot 64=4096.
Portanto
\mathcal{F}(8)=2\cdot 4096 + 8\cdot 64 =8192+512=8704.
  • Avaliando em x=2:
\mathcal{F}(2)=2\cdot 2^{4}+8\cdot 2^{2}.
Calculemos:
2^{2}=4,\qquad 2^{4}=16.
Portanto
\mathcal{F}(2)=2\cdot 16 + 8\cdot 4 =32+32=64.
  • Subtraindo para obter o trabalho:
W=\mathcal{F}(8)-\mathcal{F}(2)=8704-64=8640.

Passo 7

Interpretação final e unidades.
  • O resultado W=8640 está em unidades de newton·metro, ou seja joules. Posso escrever W=8640\\ \mathrm{J}.
  • Pequeno incentivo: pronto — fizemos a integral com calma, checando cada potência e cada multiplicação. Se ficar nervoso na prova, lembre-se de dividir em etapas como fiz aqui.

Resposta

8640\\ \mathrm{J}

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