© Exercício 07

Mostre que duas molas de constantes k_{1} e k_{2} associadas em paralelo são equivalentes, em seus efeitos, a uma mola de constante elástica k_{p}=k_{1}+k_{2}. Mostre também que duas molas de constantes k_{1} e k_{2} associadas em série são equivalentes, em seus efeitos, a uma mola de constante elástica k_{p} em que 1 / k_{p}=1 / k_{1}+1 / k_{2}.

Comentários:

  • Mostre que na associação em paralelo a força da mola equivalente F é igual à soma das forças relativas às molas 1 e 2 que gera a mesma deformação x.
  • Mostre que na associação em série a deformação equivalente x é igual à soma das deformações associadas às molas 1 e 2 a partir de uma mesma força F.

Passo 1

O enunciado pede duas demonstrações claras e separadas. Informações e perguntas que temos:
  • Temos duas molas com constantes elásticas k_{1} e k_{2}.
  • Precisamos mostrar que, na associação em paralelo, existe uma mola equivalente com constante elástica k_{p} tal que
k_{p}=k_{1}+k_{2}.
  • Precisamos também mostrar que, na associação em série, existe uma mola equivalente com constante elástica k_{p} que satisfaz
\frac{1}{k_{p}}=\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}.
  • Comentários do enunciado que devemos usar explicitamente:
    • Para paralelo: mostrar que a força da mola equivalente F é igual à soma das forças nas molas 1 e 2 que geram a mesma deformação x.
    • Para série: mostrar que a deformação equivalente x é igual à soma das deformações nas molas 1 e 2 quando submetidas à mesma força F.

Passo 2

Lembrete fundamental (Lei de Hooke) — fórmula e significado das variáveis:
  • Um modelo linear para mola diz que a força elástica F que a mola exerce quando é deformada é proporcional à deformação x. Essa relação é a Lei de Hooke:
F = k\,x,
onde:
  • F é a força elástica (em newtons, N),
  • k é a constante elástica da mola (em N/m),
  • x é a deformação (alongamento ou compressão) da mola (em metros, m).
  • Interpretação: quanto maior k, mais “rígida” é a mola — para a mesma x ela gera mais força.
Vou usar essa fórmula repetidas vezes; em cada caso explico o que cada símbolo significa naquele contexto.

Passo 3

Associação em paralelo — ideia física e hipóteses:
  • Em paralelo as duas molas estão “lado a lado”, presas pelas mesmas duas extremidades. Isso faz com que, quando se aplica uma força resultante externa F sobre o conjunto, ambas as molas sofram a mesma deformação \,x.
  • Portanto, para cada mola vale a Lei de Hooke com a mesma \,x:
F_{1} = k_{1}\,x, \qquad F_{2} = k_{2}\,x,
onde F_{1} e F_{2} são as forças que cada mola individualmente suporta.
  • Como as duas molas estão em paralelo, a força total aplicada ao conjunto é a soma das forças nas duas molas:
F = F_{1} + F_{2}.
  • Substituindo as expressões de F_{1} e F_{2}:
F = k_{1}\,x + k_{2}\,x = (k_{1}+k_{2})\,x.
  • Definição de mola equivalente: queremos uma mola única com constante k_{p} tal que para a mesma deformação x gere a mesma força F. Pela Lei de Hooke para a mola equivalente teríamos F = k_{p}\,x. Comparando com a expressão obtida,
k_{p}=k_{1}+k_{2}.
  • Observação prática: a equivalência decorre de que em paralelo as deformações são iguais e as forças se somam.
Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha k_{1}=100\\ \text{N/m}, k_{2}=200\\ \text{N/m} e x=0{,}01\\ \text{m}. Então
F_{1}=100\cdot0{,}01=1\\ \text{N},\qquad F_{2}=200\cdot0{,}01=2\\ \text{N},
logo F=1+2=3\\ \text{N}. A constante equivalente é k_{p}=100+200=300\\ \text{N/m}, e F=k_{p}x=300\cdot0{,}01=3\\ \text{N} — tudo consistente.

Passo 4

Associação em série — ideia física e hipóteses:
  • Em série as molas estão uma ligada à outra (end-to-end). Quando uma força F puxa o conjunto, essa mesma força atravessa cada mola — ou seja, cada mola suporta a mesma força F.
  • Para cada mola, aplicando a Lei de Hooke, a deformação individual é
x_{1}=\frac{F}{k_{1}}, \qquad x_{2}=\frac{F}{k_{2}},
onde x_{1} e x_{2} são os alongamentos de cada mola.
  • A deformação total do conjunto é a soma das deformações individuais:
x = x_{1} + x_{2} = \frac{F}{k_{1}} + \frac{F}{k_{2}} = F\!\left(\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}\right).
  • Agora definimos a mola equivalente com constante k_{p} pela relação F = k_{p}\,x. Substituindo x encontrado:
F = k_{p}\,F\!\left(\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}\right).
  • Supondo F\neq 0 (o caso F=0 é trivially nulo e satisfaz qualquer relação), podemos dividir ambos os lados por F e obter:
1 = k_{p}\!\left(\frac{1}{k_{1}}+\frac{1}{k_{2}}\right).
  • Reescrevendo,
\frac{1}{k_{p}} = \frac{1}{k_{1}} + \frac{1}{k_{2}}.
  • Alternativa algébrica útil: isolando k_{p},
k_{p}=\frac{k_{1}k_{2}}{k_{1}+k_{2}}.
  • Interpretação: em série as forças são iguais (não se somam) e as deformações se somam, por isso as rigidezes “combinam” como resistores em paralelo (analogia comum).
Exemplo numérico rápido: com k_{1}=100\\ \text{N/m} e k_{2}=200\\ \text{N/m}, aplique F=10\\ \text{N}.
x_{1}=\frac{10}{100}=0{,}1\\ \text{m},\qquad x_{2}=\frac{10}{200}=0{,}05\\ \text{m},
então x=0{,}15\\ \text{m}. A constante equivalente pela fórmula é
\frac{1}{k_{p}}=\frac{1}{100}+\frac{1}{200}=\frac{3}{200}\quad\Rightarrow\quad k_{p}=\frac{200}{3}\approx66{,}67\\ \text{N/m}.
Verificação: F=k_{p}x\Rightarrow 10\stackrel{?}{=}66{,}67\cdot0{,}15\approx10 — consistente.

Passo 5

Observações finais e dicas para prova:
  • Sempre identifique, no enunciado, se as molas têm a mesma deformação (paralelo) ou a mesma força (série) — isso é a chave para escolher qual soma usar.
  • Se houver mais de duas molas, as regras se estendem: para paralelo somam-se todas as constantes; para série somam-se os inversos.
  • Caso extremo: se k_{2}\to\infty (mola muito rígida) em paralelo com k_{1}, então k_{p}\approx k_{1}+ \infty = \infty (conjunto muito rígido). Em série, se uma mola tem k\to0 (muito mole), domina a deformação do conjunto e k_{p}\to0.
  • Lembre-se de explicar no enunciado qual hipótese está usando (mesma x ou mesma F) — isso costuma ganhar pontos.

Resposta

k_{p}=k_{1}+k_{2}
\dfrac{1}{k_{p}}=\dfrac{1}{k_{1}}+\dfrac{1}{k_{2}}

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