© Exercício 07
Mostre que duas molas de constantes
e
associadas em paralelo são equivalentes, em seus efeitos, a uma mola de constante elástica
. Mostre também que duas molas de constantes
e
associadas em série são equivalentes, em seus efeitos, a uma mola de constante elástica
em que
.
Comentários:
- Mostre que na associação em paralelo a força da mola equivalente
é igual à soma das forças relativas às molas 1 e 2 que gera a mesma deformação
.
- Mostre que na associação em série a deformação equivalente
é igual à soma das deformações associadas às molas 1 e 2 a partir de uma mesma força
.
Passo 1
O enunciado pede duas demonstrações claras e separadas. Informações e perguntas que temos:
- Temos duas molas com constantes elásticas
e . - Precisamos mostrar que, na associação em paralelo, existe uma mola equivalente com constante elástica
tal que
- Precisamos também mostrar que, na associação em série, existe uma mola equivalente com constante elástica
que satisfaz
- Comentários do enunciado que devemos usar explicitamente:
- Para paralelo: mostrar que a força da mola equivalente
é igual à soma das forças nas molas 1 e 2 que geram a mesma deformação . - Para série: mostrar que a deformação equivalente
é igual à soma das deformações nas molas 1 e 2 quando submetidas à mesma força .
- Para paralelo: mostrar que a força da mola equivalente
Passo 2
Lembrete fundamental (Lei de Hooke) — fórmula e significado das variáveis:
- Um modelo linear para mola diz que a força elástica
que a mola exerce quando é deformada é proporcional à deformação . Essa relação é a Lei de Hooke:
onde:
-
é a força elástica (em newtons, N), -
é a constante elástica da mola (em N/m), -
é a deformação (alongamento ou compressão) da mola (em metros, m). - Interpretação: quanto maior
, mais “rígida” é a mola — para a mesma ela gera mais força.
Vou usar essa fórmula repetidas vezes; em cada caso explico o que cada símbolo significa naquele contexto.
Passo 3
Associação em paralelo — ideia física e hipóteses:
- Em paralelo as duas molas estão “lado a lado”, presas pelas mesmas duas extremidades. Isso faz com que, quando se aplica uma força resultante externa
sobre o conjunto, ambas as molas sofram a mesma deformação . - Portanto, para cada mola vale a Lei de Hooke com a mesma
:
onde
e
são as forças que cada mola individualmente suporta.
- Como as duas molas estão em paralelo, a força total aplicada ao conjunto é a soma das forças nas duas molas:
- Substituindo as expressões de
e :
- Definição de mola equivalente: queremos uma mola única com constante
tal que para a mesma deformação gere a mesma força . Pela Lei de Hooke para a mola equivalente teríamos . Comparando com a expressão obtida,
- Observação prática: a equivalência decorre de que em paralelo as deformações são iguais e as forças se somam.
Exemplo numérico rápido (para fixar): suponha
,
e
. Então
logo
. A constante equivalente é
, e
— tudo consistente.
Passo 4
Associação em série — ideia física e hipóteses:
- Em série as molas estão uma ligada à outra (end-to-end). Quando uma força
puxa o conjunto, essa mesma força atravessa cada mola — ou seja, cada mola suporta a mesma força . - Para cada mola, aplicando a Lei de Hooke, a deformação individual é
onde
e
são os alongamentos de cada mola.
- A deformação total do conjunto é a soma das deformações individuais:
- Agora definimos a mola equivalente com constante
pela relação . Substituindo encontrado:
- Supondo
(o caso é trivially nulo e satisfaz qualquer relação), podemos dividir ambos os lados por e obter:
- Reescrevendo,
- Alternativa algébrica útil: isolando
,
- Interpretação: em série as forças são iguais (não se somam) e as deformações se somam, por isso as rigidezes “combinam” como resistores em paralelo (analogia comum).
Exemplo numérico rápido: com
e
, aplique
.
então
. A constante equivalente pela fórmula é
Verificação:
— consistente.
Passo 5
Observações finais e dicas para prova:
- Sempre identifique, no enunciado, se as molas têm a mesma deformação (paralelo) ou a mesma força (série) — isso é a chave para escolher qual soma usar.
- Se houver mais de duas molas, as regras se estendem: para paralelo somam-se todas as constantes; para série somam-se os inversos.
- Caso extremo: se
(mola muito rígida) em paralelo com , então (conjunto muito rígido). Em série, se uma mola tem (muito mole), domina a deformação do conjunto e . - Lembre-se de explicar no enunciado qual hipótese está usando (mesma
ou mesma ) — isso costuma ganhar pontos.