Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas sem tampa de pedaços quadrados de papelão com 30 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e virando para cima os lados.
(a) Se
é o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, expresse o o volume da caixa como uma função de
.
(b) Qual o domínio da função resultante?
(a) Se
(b) Qual o domínio da função resultante?
Passo 1
O enunciado diz que temos um quadrado de papelão de
,cm de lado e cortamos quadrados de lado
em cada canto, depois viramos as abas para formar uma caixa sem tampa. O conteúdo aqui é modelagem geométrica e funções de uma variável: precisamos expressar o volume em função de
e determinar para quais valores de
essa função faz sentido.
Passo 2
Depois de cortar e dobrar, a altura da caixa é
e as dimensões da base ficam com comprimento e largura iguais a
. Logo o volume
é dado por
Passo 3
Para a caixa existir, as dimensões da base não podem ser negativas nem nulas (ou então não haveria caixa). Assim:
e também
. Portanto o domínio em que a função está bem definida é
Se quisermos caixa com volume positivo estrito, usamos
.
Resposta
(a)
(b) Domínio: (ou, para volume estritamente positivo,
).
(b) Domínio: