Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas sem tampa de pedaços quadrados de papelão com 30 cm de lado, cortando quadrados iguais dos quatro cantos e virando para cima os lados.
(a) Se x cm é o comprimento do lado do quadrado a ser cortado, expresse o o volume da caixa como uma função de x.
(b) Qual o domínio da função resultante?

Passo 1

O enunciado diz que temos um quadrado de papelão de 30,cm de lado e cortamos quadrados de lado x em cada canto, depois viramos as abas para formar uma caixa sem tampa. O conteúdo aqui é modelagem geométrica e funções de uma variável: precisamos expressar o volume em função de x e determinar para quais valores de x essa função faz sentido.

Passo 2

Depois de cortar e dobrar, a altura da caixa é x e as dimensões da base ficam com comprimento e largura iguais a 30-2x. Logo o volume V é dado por
V(x)=(a<ura)times(comprimento)times(largura)
V(x)=xcdot(30-2x)cdot(30-2x)=x,(30-2x)^2

Passo 3

Para a caixa existir, as dimensões da base não podem ser negativas nem nulas (ou então não haveria caixa). Assim:
30-2x>=0Longrightarrow x<=15,
e também x>=0. Portanto o domínio em que a função está bem definida é
0<= x<=15
Se quisermos caixa com volume positivo estrito, usamos 0<x<15.

Resposta

(a) V(x)=x,(30-2x)^2
(b) Domínio: 0<= x<=15 (ou, para volume estritamente positivo, 0<x<15).

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