Um fabricante de celulares vende 3 tipos de modelos de celulares diferentes. O preço do modelo 1 é R$80, o do modelo 2 é R$ 100 e o do modelo 3 é R$120 reais. 20 \%, 30 \%e 50 \% dos consumidores escolhem os modelos 1,2 e 3 respectivamente. Suponha que, em certo dia, apenas 2 celulares são vendidos. Assuma que a escolha dos modelos entre clientes seja independente. Qual é a distribuição amostral do preço médio de venda dos 2 celulares? Calcule também a média e a variância.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória X igual ao preço de um celular vendido, com valores e probabilidades
P(X=80)=0{,}2,\quad P(X=100)=0{,}3,\quad P(X=120)=0{,}5.
Vendem-se dois celulares em um dia, de forma independente, e nos interessa a distribuição de
\bar{X} = \frac{X_1 + X_2}{2},
o preço médio de venda dos dois aparelhos.

Passo 2

Como X_1 e X_2 são independentes e idênticas a X, \bar{X} só pode assumir os valores
80,\;90,\;100,\;110,\;120,
que correspondem aos pares (X_1,X_2):
(80,80)\to 80,\; (80,100)\text{ ou }(100,80)\to 90,\; (80,120),(120,80),(100,100)\to100,\; (100,120),(120,100)\to110,\; (120,120)\to120.

Passo 3

Calculamos as probabilidades de cada valor de \bar{X}. Usando p_1=0{,}2, p_2=0{,}3, p_3=0{,}5:
P(\bar{X}=80)=p_1^2=0{,}2^2=0{,}04,
P(\bar{X}=90)=2\,p_1p_2=2\cdot0{,}2\cdot0{,}3=0{,}12,
P(\bar{X}=100)=2\,p_1p_3 + p_2^2=2\cdot0{,}2\cdot0{,}5 + 0{,}3^2=0{,}20+0{,}09=0{,}29,
P(\bar{X}=110)=2\,p_2p_3=2\cdot0{,}3\cdot0{,}5=0{,}30,
P(\bar{X}=120)=p_3^2=0{,}5^2=0{,}25.
Dessa forma, a distribuição amostral de \bar{X} é
\begin{array}{c|ccccc} x & 80 & 90 & 100 & 110 & 120\\hline P(\bar{X}=x)&0{,}04&0{,}12&0{,}29&0{,}30&0{,}25 \end{array}.

Passo 4

Para a média e variância usamos propriedades de amostras i.i.d. Primeiro calculemos
E(X)=80\cdot0{,}2 + 100\cdot0{,}3 + 120\cdot0{,}5 =16 +30+60 =106,
E(X^2)=80^2\cdot0{,}2 +100^2\cdot0{,}3 +120^2\cdot0{,}5 =6400\cdot0{,}2 +10000\cdot0{,}3 +14400\cdot0{,}5 =11480.
Logo
\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 =11480 -106^2 =11480-11236 =244.
Como
\bar{X}=\frac{X_1+X_2}{2},
temos
E(\bar{X})=E(X)=106,\qquad \mathrm{Var}(\bar{X})=\frac{\mathrm{Var}(X)}{2}=\frac{244}{2}=122.

Resposta

A distribuição de \bar{X} é
\begin{array}{c|ccccc} x & 80 & 90 & 100 & 110 & 120\\hline P(\bar{X}=x)&0{,}04&0{,}12&0{,}29&0{,}30&0{,}25 \end{array},
com
E(\bar{X})=106,\quad \mathrm{Var}(\bar{X})=122.

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