Considere uma população de tamanho
e os seguintes valores da variável
. Retire amostras de tamanho
2, com reposição. Obtenha a distribuição amostral de
e calcule a esperança e a variância. O que você pode falar sobre a esperança e a variância da média amostral, quando comparadas com as de X ?
Passo 1
O enunciado dá uma população finita de tamanho
com valores
e pede a distribuição amostral da média
em amostras de tamanho
com reposição, além de sua esperança e variância. Vamos usar:
– Para amostragem com reposição, todos os pares ordenados têm probabilidade igual .
– Em geral, e
.
– Para amostragem com reposição, todos os pares ordenados têm probabilidade igual
– Em geral,
Passo 2
Calculamos a média e a variância da população
.
Passo 3
Listamos os 16 pares ordenados
e calculamos
. A seguir, a distribuição de
:
Passo 4
Usamos a distribuição acima para calcular
Observe que
, confirmando
.
Passo 5
Comparando com
:
– A esperança da média amostral é igual à esperança da população: .
– A variância da média amostral é menor, valendo .
– A esperança da média amostral é igual à esperança da população:
– A variância da média amostral é menor, valendo
Resposta
Distribuição de
:
Esperança:
Variância:
Conclusão:
e
.