Considere uma população de tamanho N=4 e os seguintes valores da variável X, x_{1}=0, x_{2}=3, x_{3}=2, x_{4}=3. Retire amostras de tamanho n= 2, com reposição. Obtenha a distribuição amostral de \bar{X} e calcule a esperança e a variância. O que você pode falar sobre a esperança e a variância da média amostral, quando comparadas com as de X ?

Passo 1

O enunciado dá uma população finita de tamanho N=4 com valores
x_{1}=0,\quad x_{2}=3,\quad x_{3}=2,\quad x_{4}=3
e pede a distribuição amostral da média \bar{X} em amostras de tamanho n=2 com reposição, além de sua esperança e variância. Vamos usar:
– Para amostragem com reposição, todos os pares ordenados têm probabilidade igual 1/16.
– Em geral, E(\bar X)=E(X) e \mathrm{Var}(\bar X)=\mathrm{Var}(X)/n.

Passo 2

Calculamos a média e a variância da população X.
\mu=E(X)=\frac{0+3+2+3}{4}=2
\sigma^{2}=\mathrm{Var}(X) =\frac{(0-2)^{2}+(3-2)^{2}+(2-2)^{2}+(3-2)^{2}}{4} =\frac{4+1+0+1}{4}=1{,}5

Passo 3

Listamos os 16 pares ordenados (x_{i},x_{j}) e calculamos \bar X=(x_{i}+x_{j})/2. A seguir, a distribuição de \bar X:
P(\bar X=0)=\frac{1}{16}
P(\bar X=1)=\frac{2}{16}
P(\bar X=1{,}5)=\frac{4}{16}
P(\bar X=2)=\frac{1}{16}
P(\bar X=2{,}5)=\frac{4}{16}
P(\bar X=3)=\frac{4}{16}

Passo 4

Usamos a distribuição acima para calcular
E(\bar X) =\sum m\,P(\bar X=m) =\frac{0\cdot1+1\cdot2+1{,}5\cdot4+2\cdot1+2{,}5\cdot4+3\cdot4}{16} =2
E(\bar X^{2}) =\frac{0^{2}\cdot1+1^{2}\cdot2+1{,}5^{2}\cdot4+2^{2}\cdot1+2{,}5^{2}\cdot4+3^{2}\cdot4}{16} =4{,}75
\mathrm{Var}(\bar X) =E(\bar X^{2})-[E(\bar X)]^{2} =4{,}75-2^{2} =0{,}75
Observe que 0{,}75=1{,}5/2, confirmando \mathrm{Var}(\bar X)=\sigma^{2}/n.

Passo 5

Comparando com X:
– A esperança da média amostral é igual à esperança da população: E(\bar X)=\mu.
– A variância da média amostral é menor, valendo \sigma^{2}/n.

Resposta

Distribuição de \bar X:
P(\bar X=0)=\tfrac{1}{16},\quad P(\bar X=1)=\tfrac{2}{16},\quad P(\bar X=1{,}5)=\tfrac{4}{16},\quad P(\bar X=2)=\tfrac{1}{16},\quad P(\bar X=2{,}5)=\tfrac{4}{16},\quad P(\bar X=3)=\tfrac{4}{16}.
Esperança:
E(\bar X)=2.
Variância:
\mathrm{Var}(\bar X)=0{,}75.
Conclusão: E(\bar X)=E(X) e \mathrm{Var}(\bar X)=\mathrm{Var}(X)/2.

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