O fabricante do creme dental Bomdente domina com 60 \% o mercado de uma determinada cidade. Dados do ano anterior mostram que 88 \% dos usuários da marca Bomdente permanecem leais a ela, enquanto 12 \% mudaram para as concorrentes. Além disso, 85 \% dos clientes das marcas concorrentes permaneceram leais a elas, enquanto os outros 15 \% mudaram para Bomdente. Considerando-se que essa tendência continue, determine a participação de Bomdente no mercado (a) daqui a 5 anos (b) e no longo prazo.

Passo 1

O enunciado dá informações sobre a participação de mercado atual e as probabilidades de migração entre duas categorias (Bomdente e concorrentes) e pede duas coisas:
  • Pergunta (a): participação de Bomdente daqui a 5 anos.
  • Pergunta (b): participação de Bomdente no longo prazo (isto é, quando o sistema se estabilizar).
Informações fornecidas (dados que vamos usar):
  • Participação atual de Bomdente: 0,60 (ou 60\%).
  • Assimetria de comportamento ano a ano:
    • Dos usuários Bomdente, 88\% permanecem com Bomdente e 12\% migram para as concorrentes.
    • Dos usuários das concorrentes, 85\% permanecem com as concorrentes e 15\% migram para Bomdente.
Não há outras informações necessárias; a pergunta assume que essas probabilidades se mantêm constantes ao longo do tempo.

Passo 2

Vamos modelar a evolução anual da participação de mercado como um processo discreto em que, a cada ano, uma fração dos clientes permanece e outra fração migra segundo as probabilidades dadas. Denotando por B_n a participação (fração) de Bomdente no ano n (com B_0=0,60), podemos escrever uma equação de recorrência linear para B_{n+1}.
Raciocínio para montar a recorrência:
  • No ano seguinte, a parcela de mercado de Bomdente vem de duas fontes:
    1. Os que eram de Bomdente e permanecem: 0,88\cdot B_n.
    2. Os que eram das concorrentes e migraram para Bomdente: 0,15\cdot(1-B_n).
      Portanto,
B_{n+1} = 0,88\cdot B_n + 0,15\cdot(1-B_n).

Passo 3

Simplificamos a recorrência para uma forma mais clara. Desenvolvendo o lado direito:
B_{n+1} = 0,88 B_n + 0,15 - 0,15 B_n = (0,88-0,15)B_n + 0,15.
Logo,
B_{n+1} = 0,73\, B_n + 0,15.
Isto é uma recorrência linear do tipo afim: B_{n+1} = a B_n + b com a=0,73 e b=0,15.

Passo 4

Antes de resolver completamente, encontramos o ponto de equilíbrio (participação no longo prazo). No equilíbrio B_{n+1}=B_n=B, então:
B = 0,73\,B + 0,15.
Resolvendo para B:
B - 0,73B = 0,15 \quad\Rightarrow\quad 0,27B = 0,15.
Portanto,
B = \frac{0,15}{0,27} = \frac{15}{27} = \frac{5}{9}.
Convertendo para decimal,
B = \frac{5}{9} \approx 0,555555\ldots \quad\text{(ou seja, }55{,}555\%\text{).}

Passo 5

Agora resolvemos a recorrência para B_n em função de n e da condição inicial B_0=0,60. A solução geral de uma recorrência afim x_{n+1}=a x_n + b é
x_n = x^\star + (x_0 - x^\star)\,a^n,
onde x^\star é o ponto fixo (equilíbrio). Aplicando isso ao nosso caso:
B_n = \frac{5}{9} + \Bigl(B_0 - \frac{5}{9}\Bigr)\,(0,73)^n.
Aqui B_0=0,60=\frac{3}{5}=\frac{27}{45} e \frac{5}{9}=\frac{25}{45}, logo a diferença inicial é
B_0 - \frac{5}{9} = \frac{27}{45}-\frac{25}{45}=\frac{2}{45}\approx 0,044444\ldots

Passo 6

Calculamos B_5 (daqui a 5 anos) usando a fórmula:
B_5 = \frac{5}{9} + \frac{2}{45}\,(0,73)^5.
Vamos calcular passo a passo (0,73)^5:
0,73^2 = 0,5329,
0,73^3 = 0,5329\cdot 0,73 = 0,389017,
0,73^4 = 0,389017\cdot 0,73 = 0,28398241,
0,73^5 = 0,28398241\cdot 0,73 \approx 0,2073071593.
Agora multiplicamos pela diferença inicial \frac{2}{45}\approx 0,0444444444:
\frac{2}{45}\cdot 0,2073071593 \approx 0,0092147627.
Somando ao equilíbrio:
B_5 \approx 0,5555555556 + 0,0092147627 \approx 0,5647703183.
Em porcentagem:
B_5 \approx 56{,}477\%\\ (\text{aprox. }56{,}48\%).

Passo 7

Interpretação rápida (para você fazer na prova): a participação de Bomdente tende para \tfrac{5}{9}\approx 55{,}56\%. Como inicialmente estava em 60\%, ela decresce gradualmente em direção a esse valor, e a velocidade dessa aproximação é ditada pelo fator 0,73^n (quanto maior n, menor o termo de correção).

Resposta

(a) B_5 \approx 0,56477 (aprox. 56{,}48\%)
(b) B_{\infty} = \dfrac{5}{9} \approx 0,55556 (aprox. 55{,}56\%)

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