O fabricante do creme dental Bomdente domina com
o mercado de uma determinada cidade. Dados do ano anterior mostram que
dos usuários da marca Bomdente permanecem leais a ela, enquanto
mudaram para as concorrentes. Além disso,
dos clientes das marcas concorrentes permaneceram leais a elas, enquanto os outros
mudaram para Bomdente. Considerando-se que essa tendência continue, determine a participação de Bomdente no mercado (a) daqui a 5 anos (b) e no longo prazo.
Passo 1
O enunciado dá informações sobre a participação de mercado atual e as probabilidades de migração entre duas categorias (Bomdente e concorrentes) e pede duas coisas:
- Pergunta (a): participação de Bomdente daqui a 5 anos.
- Pergunta (b): participação de Bomdente no longo prazo (isto é, quando o sistema se estabilizar).
Informações fornecidas (dados que vamos usar):
- Participação atual de Bomdente:
(ou ). - Assimetria de comportamento ano a ano:
- Dos usuários Bomdente,
permanecem com Bomdente e migram para as concorrentes. - Dos usuários das concorrentes,
permanecem com as concorrentes e migram para Bomdente.
- Dos usuários Bomdente,
Não há outras informações necessárias; a pergunta assume que essas probabilidades se mantêm constantes ao longo do tempo.
Passo 2
Vamos modelar a evolução anual da participação de mercado como um processo discreto em que, a cada ano, uma fração dos clientes permanece e outra fração migra segundo as probabilidades dadas. Denotando por
a participação (fração) de Bomdente no ano
(com
), podemos escrever uma equação de recorrência linear para
.
Raciocínio para montar a recorrência:
- No ano seguinte, a parcela de mercado de Bomdente vem de duas fontes:
- Os que eram de Bomdente e permanecem:
. - Os que eram das concorrentes e migraram para Bomdente:
.
Portanto,
- Os que eram de Bomdente e permanecem:
Passo 3
Simplificamos a recorrência para uma forma mais clara. Desenvolvendo o lado direito:
Logo,
Isto é uma recorrência linear do tipo afim:
com
e
.
Passo 4
Antes de resolver completamente, encontramos o ponto de equilíbrio (participação no longo prazo). No equilíbrio
, então:
Resolvendo para
:
Portanto,
Convertendo para decimal,
Passo 5
Agora resolvemos a recorrência para
em função de
e da condição inicial
. A solução geral de uma recorrência afim
é
onde
é o ponto fixo (equilíbrio). Aplicando isso ao nosso caso:
Aqui
e
, logo a diferença inicial é
Passo 6
Calculamos
(daqui a 5 anos) usando a fórmula:
Vamos calcular passo a passo
:
Agora multiplicamos pela diferença inicial
:
Somando ao equilíbrio:
Em porcentagem:
Passo 7
Interpretação rápida (para você fazer na prova): a participação de Bomdente tende para
. Como inicialmente estava em
, ela decresce gradualmente em direção a esse valor, e a velocidade dessa aproximação é ditada pelo fator
(quanto maior
, menor o termo de correção).
Resposta
(a)
(aprox.
)
(b) (aprox.
)
(b)