Para qual vetor unitário a derivada direcional de f(x, y, z)=x y^{2}+y z^{2}+z x^{2} no ponto \mathrm{P}(1,-1,2) assume seu valor máximo, e qual é esse valor máximo?

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=x y^{2}+y z^{2}+z x^{2} e o ponto P(1,-1,2). Pede duas coisas:
  • Para qual vetor unitário a derivada direcional de f em P assume seu valor máximo.
  • Qual é esse valor máximo.
Informações relevantes:
  • A função f está explícita e o ponto P é (1,-1,2).
  • A derivada direcional será tomada em alguma direção unitária \mathbf{u} (isto é, \|\mathbf{u}\|=1).

Passo 2

Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
  • A derivada direcional de f no ponto P na direção do vetor unitário \mathbf{u} é dada por
D_{\mathbf{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot\mathbf{u},
onde \nabla f(P) é o gradiente de f em P e o ponto \cdot indica produto escalar (dot product).
  • O gradiente \nabla f é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de f:
\displaystyle \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y,\;\partial f/\partial z).
Intuição: \nabla f(P) aponta na direção de máximo crescimento de f em P; a derivada direcional na direção desse vetor é a maior possível.
  • Para mostrar isso formalmente usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz: para quaisquer vetores \mathbf{a} e \mathbf{u} com \|\mathbf{u}\|=1,
\mathbf{a}\cdot\mathbf{u}\le \|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{u}\|=\|\mathbf{a}\|.
Igualdade ocorre quando \mathbf{u} é paralelo a \mathbf{a}. Aplicando com \mathbf{a}=\nabla f(P), concluímos que D_{\mathbf{u}}f(P) é máximo quando \mathbf{u} tem a mesma direção de \nabla f(P), e o valor máximo é \|\nabla f(P)\|.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f (mostrando passo a passo):
  • \partial f/\partial x: derive f(x,y,z)=x y^{2}+y z^{2}+z x^{2} em relação a x, tratando y,z como constantes.
    • Derivada de x y^{2} em x é y^{2}.
    • Derivada de y z^{2} em x é 0.
    • Derivada de z x^{2} em x é 2 z x.
      Assim
    \frac{\partial f}{\partial x}=y^{2}+2zx.
  • \partial f/\partial y: derive em relação a y, com x,z fixos.
    • Derivada de x y^{2} em y é 2xy.
    • Derivada de y z^{2} em y é z^{2}.
    • Derivada de z x^{2} em y é 0.
      Assim
    \frac{\partial f}{\partial y}=2xy+z^{2}.
  • \partial f/\partial z: derive em relação a z, com x,y fixos.
    • Derivada de x y^{2} em z é 0.
    • Derivada de y z^{2} em z é 2yz.
    • Derivada de z x^{2} em z é x^{2}.
      Assim
    \frac{\partial f}{\partial z}=2yz+x^{2}.

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P(1,-1,2).
  • Substituindo x=1, y=-1, z=2 nas fórmulas: \frac{\partial f}{\partial x}(P)=y^{2}+2zx = (-1)^{2}+2\cdot 2\cdot 1=1+4=5.
\frac{\partial f}{\partial y}(P)=2xy+z^{2}=2\cdot 1\cdot(-1)+2^{2}=-2+4=2.
\frac{\partial f}{\partial z}(P)=2yz+x^{2}=2\cdot(-1)\cdot 2+1^{2}=-4+1=-3.
  • Logo \nabla f(P)=(5,2,-3).

Passo 5

Achar o vetor unitário na direção do gradiente e o valor máximo.
  • Primeiro a norma do gradiente: \|\nabla f(P)\|=\sqrt{5^{2}+2^{2}+(-3)^{2}}=\sqrt{25+4+9}=\sqrt{38}.
  • O vetor unitário na direção de \nabla f(P) é a normalização de \nabla f(P): \mathbf{u}=\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|=\sqrt{38}}=\frac{1}{\sqrt{38}}(5,2,-3).
  • Pelo argumento com Cauchy–Schwarz (Passo 2), o valor máximo da derivada direcional é exatamente \|\nabla f(P)\|=\sqrt{38}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{38}}(5,2,-3)
\displaystyle \text{Valor máximo}= \sqrt{38}á

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