Para qual vetor unitário a derivada direcional de
no ponto
assume seu valor máximo, e qual é esse valor máximo?
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede duas coisas:
- Para qual vetor unitário a derivada direcional de
em assume seu valor máximo. - Qual é esse valor máximo.
Informações relevantes:
- A função
está explícita e o ponto é . - A derivada direcional será tomada em alguma direção unitária
(isto é, ).
Passo 2
Conceito e fórmula que vou usar (explicação didática):
- A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário é dada por
onde
é o gradiente de
em
e o ponto
indica produto escalar (dot product).
- O gradiente
é o vetor cujas componentes são as derivadas parciais de :
Intuição:
aponta na direção de máximo crescimento de
em
; a derivada direcional na direção desse vetor é a maior possível.
- Para mostrar isso formalmente usamos a desigualdade de Cauchy–Schwarz: para quaisquer vetores
e com ,
Igualdade ocorre quando
é paralelo a
. Aplicando com
, concluímos que
é máximo quando
tem a mesma direção de
, e o valor máximo é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
(mostrando passo a passo):
-
: derive em relação a , tratando como constantes. - Derivada de
em é . - Derivada de
em é . - Derivada de
em é .
Assim
- Derivada de
-
: derive em relação a , com fixos. - Derivada de
em é . - Derivada de
em é . - Derivada de
em é .
Assim
- Derivada de
-
: derive em relação a , com fixos. - Derivada de
em é . - Derivada de
em é . - Derivada de
em é .
Assim
- Derivada de
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
- Substituindo
, , nas fórmulas:
- Logo
Passo 5
Achar o vetor unitário na direção do gradiente e o valor máximo.
- Primeiro a norma do gradiente:
- O vetor unitário na direção de
é a normalização de : - Pelo argumento com Cauchy–Schwarz (Passo 2), o valor máximo da derivada direcional é exatamente
.