4-De uma população normal com média e variância desconhecidas, extrai-se uma amostra de tamanho 25 obtendo-se média igual a 12 e \mathrm{s}^{2}=16. Obtenha um intervalo de confiança para a verdadeira média populacional, utilizando o nível de confiança de 90 \%.

Passo 1

O enunciado diz que de uma população normal com média e variância desconhecidas extraímos uma amostra de tamanho n=25 que apresentou média amostral \bar x=12 e variância amostral s^2=16. Pede-se um intervalo de confiança de 90\% para a média populacional \mu. Como \sigma^2 é desconhecida, vamos usar a distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular o desvio padrão amostral e os parâmetros do t:
s = \sqrt{16} = 4,\qquad \nu = n-1 = 24.
O nível de significância é \alpha = 1 - 0,90 = 0,10, logo \alpha/2 = 0,05. O valor crítico é
t_{1-\alpha/2,\;\nu} = t_{0,95;\,24}\approx 1,7109.

Passo 3

Calcular o erro padrão da média e a margem de erro:
\text{Erro padrão} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = 0,8.ã
\text{Margem de erro} = t_{0,95;24}\times 0,8 \approx 1,7109 \times 0,8 = 1,3687 \approx 1,37.

Passo 4

Montar o intervalo de confiança de 90\% para \mu: \bar x \pm \text{Margem de erro} 12 \pm 1,37
[\,12 - 1,37;\;12 + 1,37\,] = [\,10,63;\;13,37\,].

Resposta

[10,63;\,13,37]

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