Um fabricante de garrafas PET, alega que a população de garrafas produzidas em sua fábrica têm espessura média de 3 mm . Foram medidas as espessuras das paredes de 49 garrafas selecionadas aleatoriamente, sendo que a média das amostras foi de 2,98 mm. Considerando que o desvio padrão da população de garrafas produzidas por este fabricante é de 0,06 mm, construa um intervalo de confiança de 95 % para o valor médio de espessura das garrafas produzidas na fábrica e responda ao que se pede:
Determine se nestas condições é possível rejeitar a hipótese do fabricante de que a média é igual a 3 mm
Arredonde os resultados para 2 casas decimais de precisão
Marcar apenas uma oval.
square
Com 95 % de confiança, rejeita-se a hipótese do fabricante, pois o intervalo obtido não inclui o valor de 3 mm
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Com 95% de confiança, não se pode rejeitar a hipótese do fabricante, pois o intervalo obtido não inclui o valor de 3 mm
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Com 95% de confiança, rejeita-se a hipótese do fabricante, pois o intervalo obtido inclui o valor de 3 mm
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Com 95% de confiança, não se pode rejeitar a hipótese do fabricante, pois o intervalo obtido inclui o valor de 3 mm

Passo 1

Beleza, então a questão diz que o fabricante afirma que a espessura média das garrafas é 3 mm. A gente mediu 49 garrafas e achou média amostral bar x = 2,98,mm. Sabendo que o desvio-padrão da população é sigma = 0,06,mm, o que precisamos é:
  • Montar o intervalo de confiança de 95 % para a média;
  • Ver se 3 mm fica dentro desse intervalo (pra decidir se rejeitamos ou não a hipótese dele).
Isso é conteúdo de Estatística inferencial: intervalo de confiança para a média com desvio-padrão populacional conhecido (distribuição normal).

Passo 2

A fórmula geral do intervalo de confiança (IC) para média com sigma conhecido é:
IC1-alpha = bar x ;pm; z1-alpha2,sigmaraizn
Aqui alpha=0,05 (porque 95 % de confiança), então z1-alpha/2=z0,975approx1,96 (valor da normal padrão).

Passo 3

Agora vamos achar a margem de erro:
E = z0,975,sigmaraizn = 1,96;times;0,06raiz49 = 1,96;times;0,067 = 1,96;times;0,0085714 approx 0,0168 (mm)
Então o intervalo é
bar x pm E = 2,98 pm 0,0168

Passo 4

Calculando os limites e arredondando pra 2 casas:
  • Limite inferior: 2,98 - 0,0168 = 2,9632approx2,96,mm
  • Limite superior: 2,98 + 0,0168 = 2,9968approx3,00,mm
Logo o IC de 95 % é [2,96;,3,00].
Como 3,00 mm está dentro desse intervalo, não podemos rejeitar a hipótese de que a média é 3 mm.

Resposta

Com 95 % de confiança, não se pode rejeitar a hipótese do fabricante, pois o intervalo obtido inclui o valor de 3 mm.

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