Um fabricante de garrafas PET, alega que a população de garrafas produzidas em sua fábrica têm espessura média de 3 mm . Foram medidas as espessuras das paredes de 49 garrafas selecionadas aleatoriamente, sendo que a média das amostras foi de
. Considerando que o desvio padrão da população de garrafas produzidas por este fabricante é de
, construa um intervalo de confiança de
para o valor médio de espessura das garrafas produzidas na fábrica e responda ao que se pede:
Qual seria o maior valor de confiança para o qual você rejeitaria a hipótese do fabricante de que a média é de 3 mm
Qual seria o maior valor de confiança para o qual você rejeitaria a hipótese do fabricante de que a média é de 3 mm
Passo 1
Beleza, temos um fabricante dizendo que a espessura média das garrafas é μ₀ = 3 mm. A gente coletou uma amostra de n = 49 garrafas, achou média amostral
mm e sabe que o desvio-padrão populacional é σ = 0{,}06 mm.
Conteúdo: construção de intervalo de confiança para média com σ conhecido (distribuição normal) e depois achar o maior nível de confiança em que 3 mm fica fora desse intervalo.
Conteúdo: construção de intervalo de confiança para média com σ conhecido (distribuição normal) e depois achar o maior nível de confiança em que 3 mm fica fora desse intervalo.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar da teoria do intervalo de confiança para a média quando σ é conhecido.
A fórmula geral é
A fórmula geral é
onde
é o quantil da normal padrão que deixa
de probabilidade em cada cauda. Para 95 % de confiança,
e
.
Passo 3
Calcular o erro padrão:
Margem de erro a 95 %:
Logo o intervalo de confiança 95 % é
Passo 4
Repara que 3 mm não está dentro de (2,9632; 2,9968). Isso significa que, a 95 %, a média real parece ser menor que 3 mm, então a gente rejeita a hipótese do fabricante neste nível de confiança.
Passo 5
Agora queremos o maior nível de confiança em que a gente ainda rejeita μ₀ = 3 mm, ou seja, até onde podemos subir
antes de 3 mm entrar no intervalo.
Basta exigir que o limite superior do IC seja igual a 3 mm:
Basta exigir que o limite superior do IC seja igual a 3 mm:
Resolve para
:
Da tabela da normal,
. Isso é
.
Então e o nível de confiança é
Então
ou seja, cerca de 98,04 %.
Resposta
O maior nível de confiança em que a hipótese de média = 3 mm ainda é rejeitada é aproximadamente 98,04 %.