Um fabricante de garrafas PET, alega que a população de garrafas produzidas em sua fábrica têm espessura média de 3 mm . Foram medidas as espessuras das paredes de 49 garrafas selecionadas aleatoriamente, sendo que a média das amostras foi de 2,98 mm. Considerando que o desvio padrão da população de garrafas produzidas por este fabricante é de 0,06 mm, construa um intervalo de confiança de 95 % para o valor médio de espessura das garrafas produzidas na fábrica e responda ao que se pede:
Qual seria o maior valor de confiança para o qual você rejeitaria a hipótese do fabricante de que a média é de 3 mm

Passo 1

Beleza, temos um fabricante dizendo que a espessura média das garrafas é μ₀ = 3 mm. A gente coletou uma amostra de n = 49 garrafas, achou média amostral mm e sabe que o desvio-padrão populacional é σ = 0{,}06 mm.
Conteúdo: construção de intervalo de confiança para média com σ conhecido (distribuição normal) e depois achar o maior nível de confiança em que 3 mm fica fora desse intervalo.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar da teoria do intervalo de confiança para a média quando σ é conhecido.
A fórmula geral é
bar x pm zalpha/2,sigmaraizn
onde é o quantil da normal padrão que deixa de probabilidade em cada cauda. Para 95 % de confiança, e .

Passo 3

Calcular o erro padrão:
sigmaraizn = 0,06raiz49 = 0,067 approx 0,008571
Margem de erro a 95 %:
1,96 times 0,008571 approx 0,0168
Logo o intervalo de confiança 95 % é
2,98 ;pm; 0,0168 ;longrightarrow; (2,9632,;2,9968)

Passo 4

Repara que 3 mm não está dentro de (2,9632; 2,9968). Isso significa que, a 95 %, a média real parece ser menor que 3 mm, então a gente rejeita a hipótese do fabricante neste nível de confiança.

Passo 5

Agora queremos o maior nível de confiança em que a gente ainda rejeita μ₀ = 3 mm, ou seja, até onde podemos subir bar x + zalpha/2,sigmaraizn = 3 antes de 3 mm entrar no intervalo.
Basta exigir que o limite superior do IC seja igual a 3 mm:
zalpha/2 = 3 - 2,980,008571 approx 0,020,008571 approx 2,333
Resolve para 1 - alpha = 1 - 0,0196 = 0,9804, :
Da tabela da normal, . Isso é .
Então e o nível de confiança é
ou seja, cerca de 98,04 %.

Resposta

O maior nível de confiança em que a hipótese de média = 3 mm ainda é rejeitada é aproximadamente 98,04 %.

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