Uma fabricante de ligas metálicas deseja maximizar sua receita. Analise a situação a seguir:
A Industrial Metal produz dois tipos de ligas metálica para a fabricação de instrumentos musicais que é vendida em formato de chapas. E para produzir as ligas, ela utiliza três metais diferentes: Cobre, Zinco e Alumínio. A Liga 1 utiliza 2 kg de cobre, 1 kg de zinco e 1 kg de alumínio, já a liga 2 utiliza, 1 kg de cobre, 2 kg de zinco e 3 kg de alumínio. É informado que a fábrica tem a sua disposição 16 kg de cobre, 11 kg de zinco e 15 kg de alumínio diariamente.
O preço de venda da liga 1 é US$30, enquanto a liga 2 é de US$50.
a) Formule o modelo de programação linear para esse problema;
b) Encontre a solução ótima para esse problema usando o método gráfico e diga quantas peças de cada liga ela deve produzir diariamente para alcançar o maior lucro possível

Passo 1

O enunciado descreve um problema de programação linear em duas variáveis, cujo objetivo é maximizar a receita diária da fabrica que produz duas ligas metálicas. Para resolver, vamos usar o método gráfico de programação linear: definimos variáveis de decisão, montamos a função objetivo e as restrições de recursos, identificamos a região viável e então encontramos o ponto que maximiza a receita.

Passo 2

Definimos as variáveis de decisão e a função objetivo:
x1 = quantidade diária de chapas da liga 1 x2 = quantidade diária de chapas da liga 2
A receita (que vamos maximizar) é
Maximize R = 30,x1 + 50,x2

Passo 3

Cada recurso impõe uma restrição. Temos:
2,x1 + 1,x2 <= 16
(cobre),
1,x1 + 2,x2 <= 11
(zinco),
1,x1 + 3,x2 <= 15
(alumínio),
e ainda
x1 >= 0, x2 >= 0

Passo 4

Para achar os pontos extremos da região viável, avaliamos:
  • interceptos com os eixos: em x2=0 as restrições dão x1<=8,,11,,15, logo ponto (8,0); em x1=0 dão x2<=16,,5,5,,5, logo ponto (0,5).
  • interseção das retas 2x1+x2=16 e x1+2x2=11:
    ;;x2=16-2x1 em
    x1+2(16-2x1)=11Rightarrow -3x1=-21Rightarrow x1=7,
    x2=16-2cdot7=2. Ponto (7,2).
  • interseção de x1+2x2=11 e x1+3x2=15:
    subtraindo, x2=4 e x1=11-2cdot4=3. Ponto (3,4).
    Incluímos também o vértice (0,0).

Passo 5

Calculamos R=30x1+50x2 em cada vértice:
(0,0)to R=0, (8,0)to R=240, (0,5)to R=250,
(7,2)to R=30cdot7+50cdot2=310, (3,4)to R=30cdot3+50cdot4=290
O valor máximo é 310 em (x1,x2)=(7,2).

Resposta

A fábrica deve produzir diariamente 7 chapas da liga 1 e 2 chapas da liga 2, obtendo receita máxima de $310.

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