Use o método gráfico para solucionar o seguinte problema:
Maximizar Z=2 x1+x2
Sujeito a
x2 <= 10
2 x1+5 x2 <= 60
x1+x2 <= 18
3 x1+x2 <= 44
x1, x2 >= 0

Passo 1

O problema é um caso de programação linear em duas variáveis, com objetivo de maximizar
Z = 2x1 + x2
sujeito a
x2 <= 10, 2x1+5x2 <= 60, x1+x2 <= 18, 3x1+x2 <= 44, x1,x2 >= 0
Vamos usar o método gráfico: desenhar cada reta associada a uma restrição, determinar a região factível e, em seguida, avaliar o objetivo nos vértices desse polígono.

Passo 2

Cada restrição define uma reta no plano (x1,x2) e um lado aceitável:
x2=10, 2x1+5x2=60 (Leftrightarrow x2=12-0,4x1), x1+x2=18 (Leftrightarrow x2=18-x1), 3x1+x2=44 (Leftrightarrow x2=44-3x1),
além dos eixos x1=0 e x2=0. A região factível é o polígono convexo limitado por essas retas e pelas semi-retas positivas dos eixos.

Passo 3

Encontramos os vértices factíveis resolvendo interseções relevantes:
  1. Eixo–eixo: (0,0).
  2. x1=0 e x2=10: (0,10).
  3. x2=10 e 2x1+5x2=60: 2x1+5cdot10=60 Rightarrow 2x1=10 Rightarrow x1=5, ponto (5,10).
  4. 2x1+5x2=60 e x1+x2=18:
    multiplica x1+x2=18 por 5 e subtrai de 2x1+5x2=60: 5x1+5x2=90 - (2x1+5x2=60) Rightarrow 3x1=30 Rightarrow x1=10, x2=8, ponto (10,8).
  5. x1+x2=18 e 3x1+x2=44:
    subtrai as equações: (3x1+x2) - (x1+x2) =44-18 Rightarrow 2x1=26 Rightarrow x1=13, x2=5, ponto (13,5).
  6. Eixo x2=0 e 3x1+x2=44: 3x1=44 Rightarrow x1=443, ponto l(tfrac443,0r).
Todos esses pontos satisfazem as demais restrições e formam o polígono factível.

Passo 4

Avaliaremos
Z=2x1+x2
em cada vértice:
(0,0):& Z=0, (0,10):& Z=10, (5,10):& Z=2cdot5+10=20, (10,8):& Z=2cdot10+8=28, (13,5):& Z=2cdot13+5=31, l(tfrac443,0r):& Z=2cdottfrac443+0=tfrac883approx29,33

Passo 5

O maior valor de Z ocorre em (13,5) e vale 31.

Resposta

A solução ótima é
x1=13, x2=5,
com valor máximo
Zmax=31

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