Um fabricante de máquinas de lavar, sabendo que o tempo de vida de suas máquinas tem distribuição normal com média 2510 dias e desvio padrão 400 dias, oferece garantia de 3,5 anos.
a) Se ele produz 2000 máquinas/mês, quantas espera trocar, por mês, pelo uso da garantia?
b) De quanto deve ser a variância para que, mantido o limite de garantia, esse número caia pela metade?

Passo 1

O tempo de vida X das máquinas é dado por
X \sim N(\mu=2510,\;\sigma=400)
dias, e a garantia é de 3{,}5 anos. A produção mensal é de 2000 máquinas. Em (a) vamos calcular a probabilidade de X ser menor que o prazo da garantia e depois a quantidade esperada de trocas. Em (b) ajustamos a variância para que essa quantidade caia pela metade, mantendo o mesmo prazo de garantia.

Passo 2

Primeiro convertemos 3{,}5 anos em dias:
g = 3{,}5 \times 365 = 1277{,}5\text{ dias}.
O escore padrão correspondente é
z = \frac{g - \mu}{\sigma} = \frac{1277{,}5 - 2510}{400} = \frac{-1232{,}5}{400} \approx -3{,}0813.

Passo 3

A probabilidade de substituir sob garantia é
p = P(X \le g) = \Phi(z) \approx \Phi(-3{,}0813) \approx 0{,}00104.

Passo 4

Multiplicando pela produção mensal, o número esperado de trocas é
2000 \times p \approx 2000 \times 0{,}00104 = 2{,}08.
Ou seja, cerca de 2 máquinas por mês.

Passo 5

Para que o número de trocas caia à metade, precisamos de
P(X \le g) = \frac{p}{2} \approx 0{,}00052.
Chamando o novo desvio–padrão de \sigma', temos
\frac{g - \mu}{\sigma'} = z' \quad\text{com}\quad \Phi(z') = 0{,}00052.
Da tabela, z' \approx -3{,}28. Logo
\frac{1232{,}5}{\sigma'} = 3{,}28 \quad\Longrightarrow\quad \sigma' = \frac{1232{,}5}{3{,}28} \approx 375{,}8\text{ dias}.

Passo 6

A variância requerida é
\sigma'^2 \approx (375{,}8)^2 \approx 141\,190\;\text{(dias)}^2.

Resposta

a) Aproximadamente 2 máquinas por mês.
b) A variância deve ser cerca de 1{,}41\times10^{5} dias ^2.

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