Um fabricante observou que o custo marginal é
reais por unidade quando
unidades são produzidas. O custo total para produzir 10 unidades é
. Qual é o custo total para produzir as primeiras 20 unidades?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o custo marginal para produzir $ q $ unidades é dado por $ C’(q) = (0,1q + 1)e^{0,03q} $ reais por unidade. Além disso, sabemos que o custo total para produzir 10 unidades é R$200,00. Queremos descobrir qual é o custo total para produzir as primeiras 20 unidades. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o custo marginal. O custo marginal $ C’(q) $ representa o aumento no custo total quando produzimos uma unidade a mais. Para encontrar o custo total $ C(q) $, precisamos integrar o custo marginal em relação a $ q $.
Passo 3
Vamos integrar a função $ C’(q) = (0,1q + 1)e^{0,03q} $. A integral de $ C’(q) $ nos dá o custo total $ C(q) $:
Passo 4
Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir:
Calculando $ du $ e $ v $:
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
Simplificando a segunda integral:
Integrando novamente:
Substituindo de volta:
Onde $ K $ é a constante de integração.
Simplificando mais:
Fatorando $ e^{0,03q} $:
Simplificando os coeficientes:
Passo 5
Agora, usamos a condição que o custo total para 10 unidades é R$200,00 para encontrar $ K $. Substituindo $ q = 10 $ e $ C(10) = 200 $:
Calculando os valores:
Passo 6
Agora que temos $ K $, podemos escrever a expressão completa para $ C(q) $:
Para encontrar o custo total para 20 unidades, substituímos $ q = 20 $:
Calculando:
Resposta
Portanto, o custo total para produzir as primeiras 20 unidades é: