Um fabricante observou que o custo marginal é C^prime(x)=(0,1 q+1)e^0,03q reais por unidade quando q unidades são produzidas. O custo total para produzir 10 unidades é R . Qual é o custo total para produzir as primeiras 20 unidades?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que o custo marginal para produzir $ q $ unidades é dado por $ C’(q) = (0,1q + 1)e^{0,03q} $ reais por unidade. Além disso, sabemos que o custo total para produzir 10 unidades é R$200,00. Queremos descobrir qual é o custo total para produzir as primeiras 20 unidades. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é o custo marginal. O custo marginal $ C’(q) $ representa o aumento no custo total quando produzimos uma unidade a mais. Para encontrar o custo total $ C(q) $, precisamos integrar o custo marginal em relação a $ q $.

Passo 3

Vamos integrar a função $ C’(q) = (0,1q + 1)e^{0,03q} $. A integral de $ C’(q) $ nos dá o custo total $ C(q) $:
C'(q) = (0,1q + 1)e^0,03q

Passo 4

Para resolver essa integral, podemos usar a técnica de integração por partes. Vamos definir:
u = 0,1q + 1 e dv = e^0,03q , dq
Calculando $ du $ e $ v $:
du
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
v
Simplificando a segunda integral:
du = 0,1 , dq e v = 10,03 e^0,03q = 1003 e^0,03q
Integrando novamente:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo de volta:
C(q) = (0,1q + 1) cdot 1003 e^0,03q - integral 1003 e^0,03q cdot 0,1 , dq
Onde $ K $ é a constante de integração.
Simplificando mais:
C(q) = 1003(0,1q + 1)e^0,03q - 103 integral e^0,03q , dq
Fatorando $ e^{0,03q} $:
integral e^0,03q , dq = 10,03 e^0,03q = 1003 e^0,03q
Simplificando os coeficientes:
C(q) = 1003(0,1q + 1)e^0,03q - 103 cdot 1003 e^0,03q + K
K

Passo 5

Agora, usamos a condição que o custo total para 10 unidades é R$200,00 para encontrar $ K $. Substituindo $ q = 10 $ e $ C(10) = 200 $:
200,00 para encontrar
Calculando os valores:
Substituindo

Passo 6

Agora que temos $ K $, podemos escrever a expressão completa para $ C(q) $:
K
Para encontrar o custo total para 20 unidades, substituímos $ q = 20 $:
C(q)
Calculando:
C(q) = 30q - 7009 e^0,03q + 200 + 4009 e^0,3

Resposta

Portanto, o custo total para produzir as primeiras 20 unidades é:
C(20) = -1009 e^0,6 + 200 + 4009 e^0,3 reais

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