A receita marginal com a venda de x unidades de certa mercadoria é dada pela equação R^prime(x)=50+3,5 e^-0,01 x^2, em reais por unidade em que R(x) é a receita unitárias em reais.
Qual é a receita esperada com a venda de 1000 unidades?

Passo 1

A receita marginal é dada por R'(x)=50+3,5e^-0,01x^2. O objetivo é encontrar a receita total R(x) integrando essa expressão e usar a condição natural de que sem vendas ( x=0) a receita seja zero.

Passo 2

Integrando R'(x), temos
R(x)=integrall(50+3,5e^-0,01x^2r),dx + C

Passo 3

A integral separa-se em duas partes:
integral50,dx =50x
e
integral3,5e^-0,01x^2,dx =3,5integral e^-0,01x^2,dx
Usando a fórmula
integral e^-a x^2,dx = raizpi2raiz a,erf(raiz a,x),
com a=0,01, obtemos
integral e^-0,01x^2,dx = raizpi0,2,erf(0,1x)

Passo 4

Logo
R(x)=50x +3,5cdotraizpi0,2,erf(0,1x) + C
Como R(0)=0 e erf(0)=0, segue que C=0.

Passo 5

Para x=1000, erf(100)approx1, então
R(1000)=50cdot1000 +3,5cdotraizpi0,2approx50000 +3,5cdot5raizpi
Com raizpiapprox1,77245 temos
R(1000)approx50000 +3,5cdot8,8623approx50031,02

Resposta

R(1000)approx50031,02 reais.

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