A receita marginal com a venda de
unidades de certa mercadoria é dada pela equação
, em reais por unidade em que
é a receita unitárias em reais.
Determine
, supondo que
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função da receita total $ R(x) $ a partir da receita marginal $ R’(x) $. O enunciado nos dá que $ R’(x) = 50 + 3,5 e^{-0,01 x^{2}} $ e que $ R(0) = 0 $. Então, vamos usar cálculo, especificamente a integração, para achar $ R(x) $.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é receita marginal. A receita marginal $ R’(x) $ nos mostra quanto a receita total está mudando quando vendemos uma unidade a mais. Para achar a receita total $ R(x) $, precisamos integrar a receita marginal em relação a $ x $.
Passo 3
Vamos integrar a função $ R’(x) = 50 + 3,5 e^{-0,01 x^{2}} $. A integral de $ R’(x) $ em relação a $ x $ será:
Passo 4
Vamos resolver essa integral separadamente:
A primeira integral é fácil:
Passo 5
Agora, vamos integrar $ 3,5 e^{-0,01 x^{2}} , dx $. A função $ e^{-a x^{2}} $ tem uma integral que envolve a função erro ($ erf $), que é uma função especial usada em estatística e probabilidade. A integral de $ e^{-a x^{2}} $ é:
No nosso caso, $ a = 0,01 $, então:
Multiplicando pelo 3,5:
Passo 6
Agora, juntando tudo, temos:
Passo 7
Vamos usar a condição inicial $ R(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $. Substituindo $ x = 0 $:
Sabemos que $ erf(0) = 0 $, então:
Resposta
Portanto, a função da receita total é: