A receita marginal com a venda de x unidades de certa mercadoria é dada pela equação R^prime(x)=50+3,5 e^-0,01 x^2, em reais por unidade em que R(x) é a receita unitárias em reais.
Determine R(x), supondo que R(0)=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a função da receita total $ R(x) $ a partir da receita marginal $ R’(x) $. O enunciado nos dá que $ R’(x) = 50 + 3,5 e^{-0,01 x^{2}} $ e que $ R(0) = 0 $. Então, vamos usar cálculo, especificamente a integração, para achar $ R(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é receita marginal. A receita marginal $ R’(x) $ nos mostra quanto a receita total está mudando quando vendemos uma unidade a mais. Para achar a receita total $ R(x) $, precisamos integrar a receita marginal em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos integrar a função $ R’(x) = 50 + 3,5 e^{-0,01 x^{2}} $. A integral de $ R’(x) $ em relação a $ x $ será:
R'(x) = 50 + 3,5 e^-0,01 x^2

Passo 4

Vamos resolver essa integral separadamente:
R(x) = integral 50 , dx + 3,5 integral e^-0,01 x^2 , dx
A primeira integral é fácil:
integral 50 , dx = 50x + C

Passo 5

Agora, vamos integrar $ 3,5 e^{-0,01 x^{2}} , dx $. A função $ e^{-a x^{2}} $ tem uma integral que envolve a função erro ($ erf $), que é uma função especial usada em estatística e probabilidade. A integral de $ e^{-a x^{2}} $ é:
3,5 e^-0,01 x^2 , dx
No nosso caso, $ a = 0,01 $, então:
e^-a x^2
Multiplicando pelo 3,5:
erf

Passo 6

Agora, juntando tudo, temos:
R(x) = 50x + 17,5raizpi , erf(0,1 x) + C

Passo 7

Vamos usar a condição inicial $ R(0) = 0 $ para encontrar a constante $ C $. Substituindo $ x = 0 $:
R(0) = 0
Sabemos que $ erf(0) = 0 $, então:
C

Resposta

Portanto, a função da receita total é:
R(x) = 50x + 17,5raizpi , erf(0,1 x)

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