Um fabricante de peças de automóveis garante que uma caixa de suas peças conterá, no máximo, duas defeituosas. Qualquer caixa com mais de duas peças defeituosas pode ser devolvida para ter seu valor reembolsado. Cada caixa contém 18 peças, e a experiência tem demonstrado que nesse processo de fabricação há uma probabilidade de 5 \% de que uma dada peça seja fabricada com defeito. Além disso, cada peça é fabricada de modo independente das demais.
Qual o número esperado de peças defeituosas em cada caixa? E qual a variância?

Passo 1

O enunciado dá uma caixa com 18 peças; cada peça tem probabilidade 5\% de estar com defeito e as peças são fabricadas independentemente. Perguntas pedidas:
  • Qual o número esperado de peças defeituosas em cada caixa?
  • Qual a variância do número de peças defeituosas em cada caixa?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de peças por caixa: n=18.
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa: p=0,05.
  • Independência entre o defeito das peças (cada peça é independente das demais).

Passo 2

Modelagem do problema (por que isso faz sentido):
Defina X como o número de peças defeituosas em uma caixa. Cada peça pode ser vista como um ensaio que dá “sucesso” se a peça estiver defeituosa e “fracasso” caso contrário. Cada ensaio tem duas possibilidades e probabilidade p de “sucesso”, e há n ensaios independentes. Esse é exatamente o cenário de soma de variáveis Bernoulli independentes, portanto X segue uma distribuição binomial com parâmetros n e p. Escrevemos isso como
X \sim \text{Binomial}(n,p).
Aqui n é o número total de ensaios (peças) e p é a probabilidade de defeito por peça.

Passo 3

Fórmula e intuição para o valor esperado (muito didático):
  • Uma variável Bernoulli B com parâmetro p (ou seja, P(B=1)=p, P(B=0)=1-p) tem esperança
\mathbb{E}(B)=p.
Isto faz sentido: em média, a proporção de sucessos é p.
  • Se X é soma de n variáveis Bernoulli independentes B_1+\cdots+B_n com mesma p, a esperança usa a linearidade da expectativa (que vale mesmo sem independência):
\mathbb{E}(X)=\mathbb{E}\biggl(\sum_{i=1}^{n} B_i\biggr)=\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}(B_i)=\sum_{i=1}^{n} p = n p.
Portanto, a fórmula geral para o valor esperado de uma \text{Binomial}(n,p) é
\mathbb{E}(X)=n p.

Passo 4

Cálculo numérico do valor esperado para os dados do enunciado:
Substituindo n=18 e p=0,05 na fórmula,
\mathbb{E}(X)=18\cdot 0,05=0,9.
Interpretação simples: em média cada caixa tem 0,9 peças defeituosas — ou seja, menos de uma peça defeituosa por caixa, em média.

Passo 5

Fórmula e intuição para a variância (passo a passo):
  • A variância de uma Bernoulli B com parâmetro p é
\mathrm{Var}(B)=p(1-p).
Raciocínio rápido: \mathrm{Var}(B)=\mathbb{E}(B^2)-\mathbb{E}(B)^2. Mas B^2=B para Bernoulli, então \mathbb{E}(B^2)=\mathbb{E}(B)=p, daí \mathrm{Var}(B)=p-p^2=p(1-p).
  • Para X=\sum_{i=1}^n B_i com as B_i independentes, a variância soma:
\mathrm{Var}(X)=\sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(B_i)=\sum_{i=1}^n p(1-p)=n p(1-p).
Logo, fórmula geral para a variância de \text{Binomial}(n,p) é
\mathrm{Var}(X)=n p (1-p).

Passo 6

Cálculo numérico da variância para os dados do enunciado:
Substituindo n=18 e p=0,05 na fórmula,
\mathrm{Var}(X)=18\cdot 0,05\cdot(1-0,05)=18\cdot 0,05\cdot 0,95=0,855.

Resposta

\mathbb{E}(X)=0,9
\mathrm{Var}(X)=0,855

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