f(x)=\left\{\begin{array}{lr} 3 x^{2}, & -1 \leq x \leq 0 \\\\ 0, & \text { caso contrário } \end{array}\right.
(a) Mostre que f é uma f.d.p. para alguma variável aleatória contínua X.
(b) Encontre a função de distribuição acumulada F(x) de x.
(c) Considere uma nova variável aleatória Y dada por Y=2 X-1. Determine a função de distribuiçāo acumulada G(Y) e a função de densidade de probabilidade g(y) para Y.
e faz três perguntas separadas:
(a) mostrar que f é uma f.d.p. (função densidade de probabilidade) de alguma v.a. contínua X;
(b) encontrar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x);
(c) para Y=2X-1, determinar a função de distribuição acumulada G(y)=P(Y\le y) e a densidade g(y).
As informações relevantes do enunciado são exatamente a expressão de f(x) e os intervalos onde ela é positiva (-1\le x\le0) e onde é zero (fora desse intervalo). A resolução começa a seguir.
Passo 2
Primeiro, lembro de forma simples e direta o que é uma f.d.p.: uma função f(x) é densidade de probabilidade de uma v.a. contínua se e somente se satisfaz duas condições:
Não-negatividade: para todo x, f(x)\ge 0.
Normalização: a integral total vale 1, isto é,
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1.
Vou verificar essas duas condições para a função dada. (Isto é a “aula” curta sobre o que precisamos checar.)
Passo 3
Verificação da não-negatividade. Para -1\le x\le0 temos x^{2}\ge 0, então 3x^{2}\ge 0. Fora desse intervalo f(x)=0. Logo, para todo x vale f(x)\ge 0. Assim a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
Verificação da normalização: calcular a integral total de f. Como f é zero fora de [-1,0],
Como a integral total é 1 e f\ge 0, concluímos que f é uma f.d.p. válida. Isso responde a parte (a).
Passo 5
Agora vamos encontrar a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt. Precisamos escrever F(x) em forma por partes, considerando três regimes de x: x<-1, -1\le x\le 0 e x>0.
Se x<-1, o intervalo (-\infty,x] não intercepta o suporte [-1,0] de f, então
F(x)=0\quad\text{para }x<-1.
Passo 6
Se -1\le x\le 0, então a integral acumulada pega a parte de [-1,x] dentro do suporte. Assim
Agora a densidade g(y). Posso obtê-la de duas formas equivalentes: diferenciando G (quando for diferenciável) ou usando a fórmula de mudança de variável para transformações monotônicas lineares. Vou fazer as duas (a segunda é mais curta, a primeira mostra o porquê).
Diferenciando G(y)=F((y+1)/2) nas partes onde é diferenciável, aplico a regra da cadeia: