Se A e B são dois eventos quaisquer então:
Passo 1
O enunciado dá dois eventos quaisquer
e
e pede a relação entre as probabilidades de
,
,
e
.
Informações relevantes fornecidas: e
são eventos (subconjuntos do espaço amostral). A pergunta implícita é: provar a fórmula
Informações relevantes fornecidas:
Passo 2
Recordando uma propriedade básica de probabilidade que vamos usar: se dois eventos
e
são disjuntos (ou seja,
), então vale a aditividade finita
Isso vem do axioma de aditividade do espaço de probabilidade. Vou usar essa propriedade várias vezes. Não se preocupe — é só dizer que, quando dois conjuntos não se sobrepõem, a probabilidade da união é a soma das probabilidades.
Passo 3
Vamos decompor os conjuntos em partes que não se sobrepõem (isso facilita usar a aditividade). Defina a diferença entre conjuntos:
Observamos as identidades de conjuntos (essas são triviais, mas fundamentais):
Além disso, os três conjuntos
,
e
são dois a dois disjuntos (não têm interseção entre si). Isso é óbvio porque cada um representa uma região exclusiva do diagrama de Venn.
Passo 4
Agora aplicamos aditividade às decomposições. Como
é união disjunta de
e
, temos
De forma análoga,
E, usando que
é união disjunta das três partes,
Passo 5
Agora fazemos uma conta algebricamente simples a partir das equalidades do passo anterior. Some
e
:
Agrupando termos:
Se agora subtrairmos
dos dois lados, obtemos
Pelo passo 4 sabemos que o lado direito é precisamente
. Portanto conseguimos a fórmula desejada:
Passo 6
Uma derivação alternativa, mais curta: note que
com
e
disjuntos, logo
Mas
se decompõe em
disjuntamente, então
, isto é,
Substituindo obtém-se novamente
Passo 7
Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: suponha
,
e
. Então
Interpretação: somamos as probabilidades individuais mas subtraímos a interseção porque ela foi contada duas vezes.