Se A e B são dois eventos quaisquer então:
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

Passo 1

O enunciado dá dois eventos quaisquer A e B e pede a relação entre as probabilidades de A, B, A\cap B e A\cup B.
Informações relevantes fornecidas: A e B são eventos (subconjuntos do espaço amostral). A pergunta implícita é: provar a fórmula
P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).

Passo 2

Recordando uma propriedade básica de probabilidade que vamos usar: se dois eventos C e D são disjuntos (ou seja, C\cap D=\varnothing), então vale a aditividade finita
P(C\cup D)=P\text{(C)}+P(D).
Isso vem do axioma de aditividade do espaço de probabilidade. Vou usar essa propriedade várias vezes. Não se preocupe — é só dizer que, quando dois conjuntos não se sobrepõem, a probabilidade da união é a soma das probabilidades.

Passo 3

Vamos decompor os conjuntos em partes que não se sobrepõem (isso facilita usar a aditividade). Defina a diferença entre conjuntos:
A\setminus B=\{ \omega \mid \omega\in A \text{ e } \omega\notin B\}.
Observamos as identidades de conjuntos (essas são triviais, mas fundamentais):
A=(A\setminus B)\cup (A\cap B),
B=(B\setminus A)\cup (A\cap B),
A\cup B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)\cup (A\cap B).
Além disso, os três conjuntos (A\setminus B), (B\setminus A) e (A\cap B) são dois a dois disjuntos (não têm interseção entre si). Isso é óbvio porque cada um representa uma região exclusiva do diagrama de Venn.

Passo 4

Agora aplicamos aditividade às decomposições. Como A é união disjunta de (A\setminus B) e (A\cap B), temos
P(A)=P(A\setminus B)+P(A\cap B).
De forma análoga,
P(B)=P(B\setminus A)+P(A\cap B).
E, usando que A\cup B é união disjunta das três partes,
P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B).

Passo 5

Agora fazemos uma conta algebricamente simples a partir das equalidades do passo anterior. Some P(A) e P(B):
P(A)+P(B)=\bigl(P(A\setminus B)+P(A\cap B)\bigr)+\bigl(P(B\setminus A)+P(A\cap B)\bigr).
Agrupando termos:
P(A)+P(B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+2\,P(A\cap B).
Se agora subtrairmos P(A\cap B) dos dois lados, obtemos
P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B).
Pelo passo 4 sabemos que o lado direito é precisamente P(A\cup B). Portanto conseguimos a fórmula desejada:
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Passo 6

Uma derivação alternativa, mais curta: note que
A\cup B=A\cup (B\setminus A)
com A e B\setminus A disjuntos, logo
P(A\cup B)=P(A)+P(B\setminus A).
Mas B se decompõe em B=(B\setminus A)\cup (A\cap B) disjuntamente, então P(B)=P(B\setminus A)+P(A\cap B), isto é,
P(B\setminus A)=P(B)-P(A\cap B).
Substituindo obtém-se novamente
P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).

Passo 7

Para fixar a intuição, um exemplo numérico rápido: suponha P(A)=0,5, P(B)=0,4 e P(A\cap B)=0,2. Então
P(A\cup B)=0,5+0,4-0,2=0,7.
Interpretação: somamos as probabilidades individuais mas subtraímos a interseção porque ela foi contada duas vezes.

Resposta

P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)

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