De duas populações normais X_{1} e X_{2} com variâncias 25 , levantaram-se duas amostras de tamanho n_{1}=9 e n_{2}=16, obtendo-se:
\sum_{i=1}^{9} x_{1 i}=27 \quad \sum_{j=1}^{16} x_{2 j}=32
Ao nível de 10 \%, testar as hipóteses:
\left\{\begin{array}{l} H_{o}: \mu_{1}=\mu_{2} \\\ H_{1}: \mu_{1} \neq \mu_{2} \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá duas populações normais independentes com variâncias conhecidas iguais a 25, amostras de tamanhos n_{1}=9 e n_{2}=16, somatórios \sum_{i=1}^{9}x_{1i}=27 e \sum_{j=1}^{16}x_{2j}=32, e pede testar
H_{0}:\mu_{1}=\mu_{2} \qquad H_{1}:\mu_{1}\neq\mu_{2}
ao nível de significância \alpha=10\%. O procedimento é o teste Z para duas médias com variâncias conhecidas.

Passo 2

Calculamos as médias amostrais:
\bar x_{1} = \frac{\sum_{i=1}^{9}x_{1i}}{9} = \frac{27}{9} = 3, \quad \bar x_{2} = \frac{\sum_{j=1}^{16}x_{2j}}{16} = \frac{32}{16} = 2.

Passo 3

Sob H_{0}, a diferença \bar x_{1}-\bar x_{2} tem distribuição normal padrão quando padronizada:
Z \;=\; \frac{(\bar x_{1}-\bar x_{2})-0} {\sqrt{\sigma_{1}^{2}/n_{1} + \sigma_{2}^{2}/n_{2}}} \sim N(0,1),
com \sigma_{1}^{2}=\sigma_{2}^{2}=25.

Passo 4

Substituindo os valores:
\sqrt{\frac{25}{9}+\frac{25}{16}} =5\sqrt{\frac{1}{9}+\frac{1}{16}} =5\sqrt{\frac{25}{144}} =\frac{25}{12},
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Z_{\text{obs}} =\frac{3-2}{25/12} =\frac{1}{25/12} =\frac{12}{25}\approx0,48.

Passo 5

Para um teste bilateral com \alpha=0{,}10, o ponto crítico é
z_{1-\alpha/2}=z_{0{,}95}\approx1{,}645.
A região de rejeição é \{|Z|>1{,}645\}.

Passo 6

Como |Z_{\text{obs}}|=0{,}48<1{,}645, não rejeitamos H_{0}.

Resposta

Não rejeitamos H_{0} ao nível de 10\%; não há evidência estatística para diferenciar \mu_{1} e \mu_{2}.

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