Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual o dobro da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume de 36 m^3

Passo 1

Temos uma caixa aberta (sem tampa) com base retangular e volume fixo de 36 m³. O comprimento da base é o dobro da largura. O objetivo é usar menos papelão possível, ou seja, minimizar a área total da caixa. O conteúdo envolve otimização de função de uma variável usando derivadas.

Passo 2

Começamos expressando a altura em função da largura. Sabemos que o volume é
V = l,w,h = 36
e como l = 2w, temos
2w^2,h = 36
h = 362w^2 = 18w^2

Passo 3

Agora montamos a função da área total de papelão. A área é a soma da base mais as quatro faces laterais:
  • Base: Abase = l,w = 2w^2.
  • Laterais: duas de tamanho ltimes h e duas de wtimes h, totalizando
Alat = 2(lh) + 2(wh) = 2(2w,h) + 2(w,h) = 6w,h
Substituindo h = 18/w^2, a área total é
S(w) = 2w^2 + 6wcdot18w^2 = 2w^2 + 108w

Passo 4

Para encontrar o mínimo, derivamos S(w) em relação a w e igualamos a zero:
S'(w) = 4w - 108w^2 = 0
Logo,
4w^3 = 108 Rightarrow w^3 = 27 Rightarrow w = 3,m

Passo 5

Com w = 3,m obtemos
l = 2w = 6,m,
h = 18w^2 = 189 = 2,m
Para confirmar que é mínimo, calculamos
S''(w) = 4 + 216w^3 > 0
em, em w=3, vale S''(3)=12>0, ou seja, mínimo local.

Passo 6

Portanto, as dimensões que minimizam a área de papelão são: largura 3 m, comprimento 6 m e altura 2 m.

Resposta

Largura 3,m, comprimento 6,m e altura 2,m.

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