Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, sem tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual o dobro da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume de
Passo 1
Temos uma caixa aberta (sem tampa) com base retangular e volume fixo de 36 m³. O comprimento da base é o dobro da largura. O objetivo é usar menos papelão possível, ou seja, minimizar a área total da caixa. O conteúdo envolve otimização de função de uma variável usando derivadas.
Passo 2
Começamos expressando a altura em função da largura. Sabemos que o volume é
e como
, temos
Passo 3
Agora montamos a função da área total de papelão. A área é a soma da base mais as quatro faces laterais:
- Base:
. - Laterais: duas de tamanho
e duas de , totalizando
Substituindo
, a área total é
Passo 4
Para encontrar o mínimo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Logo,
Passo 5
Com
obtemos
Para confirmar que é mínimo, calculamos
em, em
, vale
, ou seja, mínimo local.
Passo 6
Portanto, as dimensões que minimizam a área de papelão são: largura 3 m, comprimento 6 m e altura 2 m.
Resposta
Largura
, comprimento
e altura
.