Suponha que a produção
de uma fábrica seja dada pela função de Coob-Douglas
, onde
é o capital imobilizado em milhares de reais e
é o volume de mão de obra em homens-horas, sendo
e
constantes positivas e
. Prove que, se
e
forem multiplicadas pelo mesmo número positivo
, a produção
também será multiplicada por
, isto é, mostre que
. Quando uma função produção possui essa propriedade, dizemos que apresenta retornos constantes de escala.
Passo 1
O enunciado considera a função produção de Cobb-Douglas
com constantes positivas
e
tais que
. O objetivo é mostrar que, ao multiplicar ambos os insumos
e
por um mesmo fator
, o produto escala pelo mesmo fator, isto é, provar retornos constantes de escala usando propriedades de potências.
Passo 2
Substituímos
e
por
e
na função de produção:
Passo 3
Usamos a propriedade
para fatorar as potências:
Substituindo de volta:
Passo 4
Como
, temos
. Logo,
Passo 5
Isso mostra que a produção escala linearmente com os insumos, caracterizando retornos constantes de escala.
Resposta
Q(mK, mL) = m ; Q(K, L), logo a função apresenta retornos constantes de escala.