Suponha que a produção Q de uma fábrica seja dada pela função de Coob-Douglas Q(K, L)=A cdot K^alpha L^1-alpha, onde K é o capital imobilizado em milhares de reais e L é o volume de mão de obra em homens-horas, sendo A e alpha constantes positivas e 0. Prove que, se K e L forem multiplicadas pelo mesmo número positivo m, a produção Q também será multiplicada por m, isto é, mostre que Q(m K, m L)=m Q(K, L). Quando uma função produção possui essa propriedade, dizemos que apresenta retornos constantes de escala.

Passo 1

O enunciado considera a função produção de Cobb-Douglas Q(K, L) = A cdot K^alpha cdot L^1-alpha com constantes positivas A e alpha tais que 0. O objetivo é mostrar que, ao multiplicar ambos os insumos K e L por um mesmo fator m>0, o produto escala pelo mesmo fator, isto é, provar retornos constantes de escala usando propriedades de potências.

Passo 2

Substituímos K e L por mK e mL na função de produção:
Q(mK, mL) = A cdot (mK)^alpha cdot (mL)^1-alpha

Passo 3

Usamos a propriedade (xy)^p = x^p y^p para fatorar as potências:
(mK)^alpha = m^alpha K^alpha, (mL)^1-alpha = m^1-alpha L^1-alpha
Substituindo de volta:
Q(mK, mL) = A cdot m^alpha K^alpha cdot m^1-alpha L^1-alpha = A cdot m^alpha + (1-alpha) cdot K^alpha L^1-alpha

Passo 4

Como alpha + (1-alpha)=1, temos m^alpha+(1-alpha)=m^1=m. Logo,
Q(mK, mL) = m cdot A K^alpha L^1-alpha = m ; Q(K, L)

Passo 5

Isso mostra que a produção escala linearmente com os insumos, caracterizando retornos constantes de escala.

Resposta

Q(mK, mL) = m ; Q(K, L), logo a função apresenta retornos constantes de escala.

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