Sejam X1: N(150,30), X 2: N(200,20), X 3: N(100,14) independentes. Seja X= X1 - X2 + X3, também com distribuição normal. Calcular: P (47 【 X <= 58 ).

Passo 1

Então, o exercício diz que temos três variáveis aleatórias independentes:
X₁ ∼ N(150, 30), X₂ ∼ N(200, 20) e X₃ ∼ N(100, 14). Depois definimos X = X₁ − X₂ + X₃, que também é normal. O que pedem é P(47 ≤ X ≤ 58).
Conteúdo: distribuição normal e soma (ou diferença) de variáveis independentes.
O que vamos precisar:
  • Saber que a soma (ou combinação linear) de normais independentes é normal;
  • Calcular a média e a variância de X;
  • Usar a padronização (z-score) e a tabela da normal padrão para achar a probabilidade.

Passo 2

Calculando média e variância de X:
  1. Média:
muX = muX1 - muX2 + muX3 = 150 - 200 + 100 = 50
  1. Variância: como X₁, X₂ e X₃ são independentes, a variância de X₁ − X₂ + X₃ é a soma das variâncias (note que a variância de −X₂ é a mesma de X₂):
sigmaX^2 = sigmaX1^2 + sigmaX2^2 + sigmaX3^2 = 30^2 + 20^2 + 14^2 = 900 + 400 + 196 = 1496
Logo o desvio-padrão é
sigmaX = raiz1496 approx 38,67

Passo 3

Agora padronizamos 47 e 58 para achar a probabilidade na normal padrão Z ∼ N(0,1):
Z1 = 47 - muXsigmaX = 47 - 5038,67 approx -0,0776,
Z2 = 58 - muXsigmaX = 58 - 5038,67 approx 0,2069
A probabilidade pedida é
P(47 <= X <= 58) = Pl(Z1 <= Z <= Z2r) = Phi(Z2) - Phi(Z1),
onde Φ é a função de distribuição da normal padrão.

Passo 4

Consultando a tabela (ou calculadora) da normal padrão:
Phi(0,2069) approx 0,5819, Phi(-0,0776) approx 0,4691
Então
P(47 <= X <= 58) approx 0,5819 - 0,4691 = 0,1128

Resposta

boxedP(47 <= X <= 58) approx 0,1128

Exercícios relacionados