Sejam X1:
independentes. Seja
X1 - X2 + X3, também com distribuição normal. Calcular:
(47 【
).
Passo 1
Então, o exercício diz que temos três variáveis aleatórias independentes:
X₁ ∼ N(150, 30), X₂ ∼ N(200, 20) e X₃ ∼ N(100, 14). Depois definimos X = X₁ − X₂ + X₃, que também é normal. O que pedem é P(47 ≤ X ≤ 58).
Conteúdo: distribuição normal e soma (ou diferença) de variáveis independentes.
O que vamos precisar:
X₁ ∼ N(150, 30), X₂ ∼ N(200, 20) e X₃ ∼ N(100, 14). Depois definimos X = X₁ − X₂ + X₃, que também é normal. O que pedem é P(47 ≤ X ≤ 58).
Conteúdo: distribuição normal e soma (ou diferença) de variáveis independentes.
O que vamos precisar:
- Saber que a soma (ou combinação linear) de normais independentes é normal;
- Calcular a média e a variância de X;
- Usar a padronização (z-score) e a tabela da normal padrão para achar a probabilidade.
Passo 2
Calculando média e variância de X:
- Média:
- Variância: como X₁, X₂ e X₃ são independentes, a variância de X₁ − X₂ + X₃ é a soma das variâncias (note que a variância de −X₂ é a mesma de X₂):
Logo o desvio-padrão é
Passo 3
Agora padronizamos 47 e 58 para achar a probabilidade na normal padrão Z ∼ N(0,1):
A probabilidade pedida é
onde Φ é a função de distribuição da normal padrão.
Passo 4
Consultando a tabela (ou calculadora) da normal padrão:
Então