Um fabricante produz peças de diâmetro especificado em 72 mm . Querendo estimar o verdadeiro diâmetro num grande lote a fornecer ao seu maior cliente, seleccionou 35 peças aleatoriamente, que depois de medidas forneceram os seguintes valores: \sum x i=2530 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=13 Apresente uma estimativa para o diâmetro médio no lote por meio de um intervalo de confiança a 99 %.
Resp: [ I.C. 0.99] \mu=(70.822,73.749)

Passo 1

O enunciado pede um intervalo de confiança a 99 % para a média \mu do diâmetro, sem conhecer a variância populacional. Como a amostra tem tamanho n=35, usaremos a distribuição t de Student com n-1=34 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral:
\bar x \;=\;\frac{\sum x_i}{n}\;=\;\frac{2530}{35}\;\approx\;72{,}286\text{ mm}.

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral. Primeiro a variância amostral:
s^2 \;=\;\frac{\sum(x_i - \bar x)^2}{n - 1}\;=\;\frac{13}{34}\;\approx\;0{,}3824\text{ mm}^2.
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s \;=\;\sqrt{0{,}3824}\;\approx\;0{,}6184\text{ mm}.

Passo 4

Obter o quantil de t para \alpha/2=0{,}005 e 34 graus de liberdade. Pela tabela,
t_{0,005;34}\;\approx\;2{,}728.

Passo 5

Calcular a margem de erro:
E \;=\;t_{0,005;34}\,\frac{s}{\sqrt{n}} \;=\;2{,}728\times\frac{0{,}6184}{\sqrt{35}} \;\approx\;0{,}2854\text{ mm}.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança:
\bar x \pm E \;=\;72{,}286 \pm 0{,}2854 \quad\Longrightarrow\quad (72{,}0006\,,\,72{,}5714)\text{ mm}.

Resposta

O intervalo de confiança a 99 % para \mu é aproximadamente
(72{,}001\text{ mm},\;72{,}571\text{ mm}).

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