Um fabricante produz peças de diâmetro especificado em 72 mm . Querendo estimar o verdadeiro diâmetro num grande lote a fornecer ao seu maior cliente, seleccionou 35 peças aleatoriamente, que depois de medidas forneceram os seguintes valores: \sum x i=2530 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=13 Apresente uma estimativa para o diâmetro médio no lote por meio de um intervalo de confiança a 99 %.
Resp: [ I.C. 0.99] \mu=(70.822,73.749)

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de tamanho n=35 de diâmetros (em mm) com
\sum_{i=1}^{35}x_i = 2530
e
\sum_{i=1}^{35}(x_i - \bar{x})^2 = 13.
Queremos construir um intervalo de confiança de nível 99\% para o diâmetro médio \mu do lote. Como a variância populacional é desconhecida, usaremos a distribuição t de Student com n-1=34 graus de liberdade.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}:
\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i = \frac{2530}{35} \approx 72{,}2857\\ \text{mm}.

Passo 3

Calcular a variância e o desvio-padrão amostrais.
A variância amostral é
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 = \frac{13}{34}\approx 0{,}38235\\ \text{(mm)}^2,
logo o desvio-padrão amostral é
s = \sqrt{s^2}\approx \sqrt{0{,}38235}\approx 0{,}6184\\ \text{mm}.

Passo 4

Determinar o quantil crítico da t de Student para nível de significância \alpha=1\% em duas caudas, ou seja, \alpha/2=0{,}005 e 34 graus de liberdade:
t_{0{,}005,\,34}\approx 2{,}728.

Passo 5

Calcular o erro-padrão da média e a margem de erro do intervalo:
\text{SE} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{0{,}6184}{\sqrt{35}}\approx 0{,}1045\\ \text{mm},
E = t_{0{,}005,34}\times \text{SE} \approx 2{,}728 \times 0{,}1045 \approx 0{,}2852\\ \text{mm}.
O intervalo de confiança é
\bar{x}\pm E = 72{,}2857 \pm 0{,}2852,
ou seja
(72{,}2857 - 0{,}2852,\;72{,}2857 + 0{,}2852) \approx (72{,}0005,\;72{,}5709)\\ \text{mm}.

Resposta

\mu \in (72{,}001,\;72{,}571) mm (nível de confiança de 99\%).

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