Numa fábrica de automóveis existe uma secção destinada à produção de determinado tipo de peças, cujo comprimento deverá ser aproximadamente de 2.5 cm . A secção de controle de qualidade da referida fábrica afirma que as peças apresentam comprimentos superiores aos exigidos. Com o objetivo de avaliar a veracidade da afirmação proferida pela secção de controle de qualidade, selecionou-se ao acaso uma amostra de 26 peças na produção de um dia, tendo sido obtidos os resultados seguintes: \sum x i=78 e \sum\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}=13. Admitindo a normalidade da população subjacente aos dados: construa um intervalo de confiança a 95 % para o comprimento médio das peças.
(Resp: 2,7087 \leq \mu \leq 3,29 )

Passo 1

Resumindo o enunciado: selecionou-se uma amostra de tamanho n=26 e obteve-se \sum x_i = 78 e \sum (x_i - \bar x)^2 = 13. Queremos construir um intervalo de confiança a 95\% para o comprimento médio \mu. Como a variância populacional é desconhecida e a amostra deve ser tratada como proveniente de uma população normal, vamos usar o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar x:
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{78}{26} = 3{,}0.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão amostral s. Primeiro a variância amostral:
s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2 = \frac{13}{26 - 1} = \frac{13}{25} = 0{,}52.
Logo,
s = \sqrt{0{,}52} \approx 0{,}7211.

Passo 4

Determinar o valor crítico t_{n-1;0,975} para n-1=25 graus de liberdade e nível de confiança 95\%:
t_{25;0{,}975} \approx 2{,}0595.

Passo 5

Calcular a margem de erro E:
E = t_{25;0{,}975}\,\frac{s}{\sqrt{n}} = 2{,}0595 \times \frac{0{,}7211}{\sqrt{26}} \approx 2{,}0595 \times 0{,}1415 \approx 0{,}2912.

Passo 6

Construir o intervalo de confiança a 95\%:
\bigl[\bar x - E,\;\bar x + E\bigr] = [3{,}0 - 0{,}2912,\;3{,}0 + 0{,}2912] \approx [2{,}7088,\;3{,}2912].

Resposta

2,7087 \le \mu \le 3,29

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