Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
y^prime=3 x^2 y+x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método do fator integrante. A equação que temos é y' = 3x^2 y + x^2. Para isso, precisamos identificar que essa é uma equação linear da forma y' + P(x)y = Q(x), onde P(x) = -3x^2 e Q(x) = x^2. O método do fator integrante vai nos ajudar a encontrar uma solução para essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
y' - 3x^2 y = x^2
Aqui, já identificamos P(x) = -3x^2 e Q(x) = x^2.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -3x^2 dx = e^-x^3

Passo 4

Multiplicamos toda a equação pela mu(x):
e^-x^3y' - 3x^2 e^-x^3 y = x^2 e^-x^3
O lado esquerdo agora é a derivada do produto mu(x) y, ou seja:
ddx(e^-x^3 y) = x^2 e^-x^3

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
integral ddx(e^-x^3 y) dx = integral x^2 e^-x^3 dx
O lado esquerdo simplifica para:
e^-x^3 y = integral x^2 e^-x^3 dx + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição:
Seja u = -x^3, então du = -3x^2 dx, ou seja, -du/3 = x^2 dx. Assim:
integral x^2 e^-x^3 dx = -13 integral e^u du = -13 e^u + C = -13 e^-x^3 + C

Passo 7

Substituindo de volta na equação:
e^-x^3 y = -13 e^-x^3 + C
Agora, isolamos y dividindo ambos os lados por e^-x^3:
y = -13 + C e^x^3

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = -13 + C e^x^3
Onde C é uma constante real.

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