Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem usando o método do fator integrante. A equação que temos é
. Para isso, precisamos identificar que essa é uma equação linear da forma
, onde
e
. O método do fator integrante vai nos ajudar a encontrar uma solução para essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão:
Aqui, já identificamos
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto
, ou seja:
Passo 5
Integrando ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Para resolver a integral no lado direito, fazemos uma substituição:
Seja , então
, ou seja,
. Assim:
Seja
Passo 7
Substituindo de volta na equação:
Agora, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante real.