Em uma cidade, os motoristas são parados pela polícia para fazer um teste sobre o teor de álcool no sangue. Suponha que a probabilidade de que um motorista detido esteja embriagado é 5 % e que o teste realizado acerta o estado de embriaguez, isto é, se está sóbrio ou embriagado, em 80 % das ocasiões.
Qual a probabilidade de que o teste de um motorista detido resulte positivo, ou seja, ateste embriaguez?

Passo 1

Resumo da questão: em uma cidade, 5 % dos motoristas parados estão embriagados e um teste detecta corretamente o estado (sóbrio ou embriagado) em 80 % das vezes. A matéria envolvida é Probabilidade, mais especificamente a Lei da Probabilidade Total. Para resolver, vamos precisar:
  1. Definir a probabilidade de embriaguez e de não embriaguez .
  2. Conhecer TPR (sensibilidade) e FPR (taxa de falso positivo).
  3. Aplicar a Lei da Probabilidade Total para achar .

Passo 2

Definindo as probabilidades:
  • P(T=+ mid E) = 0,80 (5 % de embriagados)
  • P(T=+ mid bar E) = 1 - 0,80 = 0,20 (95 % de sóbrios)
    O teste acerta embriagado em 80 %, logo sensibilidade:
Como o teste acerta sóbrio em 80 %, a taxa de falso positivo (testar positivo quando está sóbrio) é

Passo 3

Agora aplicamos a Lei da Probabilidade Total para achar a chance de dar positivo no teste, seja o cara bêbado ou sóbrio:
P(T=+) ;=; P(T=+ mid E),P(E);+;P(T=+ mid bar E),P(bar E)

Passo 4

Substituindo os valores:
P(T=+) = 0,80 times 0,05 ;+; 0,20 times 0,95 = 0,04 ;+; 0,19 = 0,23

Resposta

A probabilidade de que o teste resulte positivo é de (23 %).

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