Um fabricante tem vendido lâmpadas a \mathrm{R} \ 30,00 a unidade e por este preço as vendas têm sido de 3.000 lâmpadas por mês. O fabricante pretende aumentar o preço e calcula que para cadaçêâêç\mathrm{R} $1,00 de aumento, menos 1.000 lâmpadas serão vendidas por mês. O custo de produção é R\âãêçãé 18,00 por lâmpada. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das lâmpadas, desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Expressar o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda da lâmpada.
  • Desenhar (descrever) o gráfico associado a essa função.
  • Estimar o preço ótimo de venda (o preço que maximiza o lucro).
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
  • Preço atual: 30{,}00 (ou seja, 30 reais por lâmpada).
  • Vendas atuais: 3000 lâmpadas por mês quando o preço é 30.
  • Para cada aumento de 1{,}00 real no preço, vendem-se 1000 lâmpadas a menos por mês.
  • Custo de produção: 18{,}00 reais por lâmpada (custo variável por unidade).

Passo 2

Definir variáveis e montar a função demanda (vendas) em função do preço.
  • Seja p o preço de venda por lâmpada (em reais). Queremos a função quantidade vendida q(p).
  • Sabemos que em p=30 tem-se q=3000 e que um aumento de 1 em p reduz q em 1000. Isso indica uma relação linear entre q e p.
A forma linear geral é \,q(p)=a+bp\,. Usando a informação:
  • Para p=30: q(30)=3000.
  • A inclinação b é -1000 (porque para cada +1 em p diminui q em 1000).
Logo:
q(p)=3000-1000\,(p-30).
Simplificando:
q(p)=3000-1000p+30000=33000-1000p.

Passo 3

Explicar receita, custo e lucro e montar a função lucro.
  • Receita mensal R(p) é preço vezes quantidade vendida:
R(p)=p\cdot q(p).
  • Custo total mensal C(p) (apenas custo variável proporcional à produção) é custo por unidade vezes quantidade:
C(p)=18\cdot q(p).
  • Lucro mensal \pi(p) é receita menos custo:
\pi(p)=R(p)-C(p)=(p-18)\,q(p).
Substituindo q(p)=33000-1000p:
\pi(p)=(p-18)\,(33000-1000p).

Passo 4

Expandir e simplificar a expressão do lucro para obter a forma quadrática padrão.
Calcule produto:
\pi(p)=(p-18)\,(33000-1000p)=p\cdot33000-1000p^2-18\cdot33000+18000p.
Agora some os termos semelhantes:
33000p+18000p=51000p, \qquad 18\cdot33000=594000.
Portanto:
\pi(p)=-1000p^2+51000p-594000.
Também é útil a forma fatorada (já obtida antes):
\pi(p)=(p-18)\,(33000-1000p).

Passo 5

Determinar o domínio relevante para p (condição de quantidade não negativa) e pontos importantes.
  • A quantidade q(p) deve ser não negativa: q(p)=33000-1000p\ge 0.
    Isto implica:
p\le 33.
  • Além disso, preços negativos não fazem sentido aqui, então consideramos 0\le p\le 33. Na prática, p estará na vizinhança de valores reais de mercado (por exemplo entre 18 e 33), porque em p=18 o lucro será zero (preço igual ao custo) e em p=33 a quantidade vendida é zero (lucro zero).
Observação: as raízes da função lucro podem ser vistas resolvendo \pi(p)=0. Dividindo por -1000 temos
p^2-51p+594=0.
Discriminante: 51^2-4\cdot594=2601-2376=225, \sqrt{225}=15. Assim as raízes são
p=\frac{51\pm15}{2}\Rightarrow p=18 \text{ ou } p=33.
Isto confirma que \pi(18)=0 e \pi(33)=0.

Passo 6

Encontrar o preço que maximiza o lucro (vértice da parábola).
  • A função \pi(p) é um polinômio quadrático com coeficiente de p^2 negativo ( -1000), logo é uma parábola virada para baixo e tem um máximo no vértice.
  • Para uma quadrática \,ap^2+bp+c, o vértice ocorre em p=-\dfrac{b}{2a}.
Aqui a=-1000 e b=51000. Então:
p_{\text{vértice}}=-\frac{51000}{2\cdot(-1000)}=\frac{51000}{2000}=25{,}5.é
Portanto o preço ótimo é \,p=25{,}50 reais (arredondando para centavos, R\$25{,}50).

Passo 7

Calcular a quantidade vendida e o lucro máximo correspondentes ao preço ótimo.
  • Quantidade vendida em p=25{,}5:
q(25{,}5)=33000-1000\cdot25{,}5=33000-25500=7500\\ \text{lâmpadas/mês}.âê
  • Lucro máximo:
\pi(25{,}5)=(25{,}5-18)\cdot7500=7{,}5\cdot7500=56250\\ \text{reais/mês}.ê
(Verificação pela forma quadrática: \pi(25{,}5)=-1000(25{,}5)^2+51000\cdot25{,}5-594000=56250.)

Passo 8

Desenho / descrição do gráfico da função lucro \pi(p) para ajudar a traçar à mão ou no computador.
Instruções e pontos-chave para desenhar:
  • A função é uma parábola concava para baixo, dada por \pi(p)=-1000p^2+51000p-594000.
  • Raízes (onde \pi(p)=0): p=18 e p=33. Marcar estes pontos no eixo p (preço).
  • Vértice (máximo): p=25{,}5 com \pi(25{,}5)=56250. Marcar o ponto (25{,}5,\;56250).
  • Alguns pontos adicionais para traçar a forma:
    • Em p=30: quantidade q(30)=3000 e \pi(30)=(30-18)\cdot3000=36000. Marcar (30,36000).
    • Em p=25: q(25)=8000 e \pi(25)=7\cdot8000=56000.
    • Em p=31: q(31)=2000 e \pi(31)=13\cdot2000=26000.
  • Ligar os pontos suavemente formando uma parábola voltada para baixo, interceptando o eixo \pi=0 em p=18 e p=33, com o topo em p=25{,}5.

Resposta

\pi(p)=(p-18)\,(33000-1000p)=-1000p^2+51000p-594000
Gráfico: parábola côncava para baixo com raízes em p=18 e p=33 e vértice em p=25{,}5 com \pi(25{,}5)=56250 reais (máximo).
Preço ótimo: p=25{,}50 reais (lucro máximo \pi_{\max}=56250 reais/mês).

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