Um fabricante tem vendido lâmpadas a
30,00
\mathrm{R} $1,00
18,00 por lâmpada. Expresse o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda das lâmpadas, desenhe o gráfico associado e estime o preço ótimo de venda.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Expressar o lucro mensal do fabricante em função do preço de venda da lâmpada.
- Desenhar (descrever) o gráfico associado a essa função.
- Estimar o preço ótimo de venda (o preço que maximiza o lucro).
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
- Preço atual:
(ou seja, reais por lâmpada). - Vendas atuais:
lâmpadas por mês quando o preço é . - Para cada aumento de
real no preço, vendem-se lâmpadas a menos por mês. - Custo de produção:
reais por lâmpada (custo variável por unidade).
Passo 2
Definir variáveis e montar a função demanda (vendas) em função do preço.
- Seja
o preço de venda por lâmpada (em reais). Queremos a função quantidade vendida . - Sabemos que em
tem-se e que um aumento de em reduz em . Isso indica uma relação linear entre e .
A forma linear geral é
. Usando a informação:
- Para
: . - A inclinação
é (porque para cada em diminui em ).
Logo:
Simplificando:
Passo 3
Explicar receita, custo e lucro e montar a função lucro.
- Receita mensal
é preço vezes quantidade vendida:
- Custo total mensal
(apenas custo variável proporcional à produção) é custo por unidade vezes quantidade:
- Lucro mensal
é receita menos custo:
Substituindo
:
Passo 4
Expandir e simplificar a expressão do lucro para obter a forma quadrática padrão.
Calcule produto:
Agora some os termos semelhantes:
Portanto:
Também é útil a forma fatorada (já obtida antes):
Passo 5
Determinar o domínio relevante para
(condição de quantidade não negativa) e pontos importantes.
- A quantidade
deve ser não negativa: .
Isto implica:
- Além disso, preços negativos não fazem sentido aqui, então consideramos
. Na prática, estará na vizinhança de valores reais de mercado (por exemplo entre e ), porque em o lucro será zero (preço igual ao custo) e em a quantidade vendida é zero (lucro zero).
Observação: as raízes da função lucro podem ser vistas resolvendo
. Dividindo por
temos
Discriminante:
,
. Assim as raízes são
Isto confirma que
e
.
Passo 6
Encontrar o preço que maximiza o lucro (vértice da parábola).
- A função
é um polinômio quadrático com coeficiente de negativo ( ), logo é uma parábola virada para baixo e tem um máximo no vértice. - Para uma quadrática
, o vértice ocorre em .
Aqui
e
. Então:
Portanto o preço ótimo é
reais (arredondando para centavos,
).
Passo 7
Calcular a quantidade vendida e o lucro máximo correspondentes ao preço ótimo.
- Quantidade vendida em
:
- Lucro máximo:
(Verificação pela forma quadrática:
.)
Passo 8
Desenho / descrição do gráfico da função lucro
para ajudar a traçar à mão ou no computador.
Instruções e pontos-chave para desenhar:
- A função é uma parábola concava para baixo, dada por
. - Raízes (onde
): e . Marcar estes pontos no eixo (preço). - Vértice (máximo):
com . Marcar o ponto . - Alguns pontos adicionais para traçar a forma:
- Em
: quantidade e . Marcar . - Em
: e . - Em
: e .
- Em
- Ligar os pontos suavemente formando uma parábola voltada para baixo, interceptando o eixo
em e , com o topo em .
Resposta
Gráfico: parábola côncava para baixo com raízes em
Preço ótimo: