Faça a análise de sinal de cada função e determine os limites indicados:
lim x 2 9-x^2(x-2)(x^2-5 x+6);

Passo 1

O enunciado pede para analisar o sinal da função
f(x)=9 - x^2(x-2)(x^2 - 5x + 6)
e calcular limxto 2 f(x). O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, análise de sinais dos fatores e avaliação de limites que podem divergir.

Passo 2

Vamos fatorar numerador e denominador. No numerador temos
9 - x^2 = (3 - x)(3 + x)
No denominador, o polinômio x^2 - 5x + 6 fatora em
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3),
portanto
(x-2)(x^2 - 5x + 6) = (x-2)^2 (x-3)

Passo 3

Agora analisamos o sinal de cada fator próximo de x = 2:
  • 3 - x: em xapprox 2 é positivo.
  • 3 + x: em xapprox 2 é positivo.
  • (x-2)^2: é sempre não negativo, e próximo de 2 tende a zero positivo.
  • x-3: em xapprox 2 é negativo.
    Com isso, o numerador é positivo perto de 2 e o denominador é produto de algo positivo pequeno por algo negativo, logo é negativo e vai a zero.

Passo 4

Podemos simplificar simbolicamente para ver o comportamento da função:
f(x)=(3 - x)(3 + x)(x-2)^2 (x-3) = -(x-3)(3 + x)(x-2)^2 (x-3) = -3 + x(x-2)^2, xneq 3
Perto de x=2 o numerador tende a 3+2=5>0 e o denominador é um quadrado pequeno positivo, então o quociente diverge para -infty.

Passo 5

Como a função tende a um valor negativo em módulo crescente quando xto 2, concluímos que o limite é divergente para -infty.

Resposta

-\infty

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