Faça a análise de sinal de cada função e determine os limites indicados:
;
Passo 1
O enunciado pede para analisar o sinal da função
e calcular
. O conteúdo envolvido é fatoração de polinômios, análise de sinais dos fatores e avaliação de limites que podem divergir.
Passo 2
Vamos fatorar numerador e denominador. No numerador temos
No denominador, o polinômio
fatora em
portanto
Passo 3
Agora analisamos o sinal de cada fator próximo de
:
-
: em é positivo. -
: em é positivo. -
: é sempre não negativo, e próximo de 2 tende a zero positivo. -
: em é negativo.
Com isso, o numerador é positivo perto de 2 e o denominador é produto de algo positivo pequeno por algo negativo, logo é negativo e vai a zero.
Passo 4
Podemos simplificar simbolicamente para ver o comportamento da função:
Perto de
o numerador tende a
e o denominador é um quadrado pequeno positivo, então o quociente diverge para
.
Passo 5
Como a função tende a um valor negativo em módulo crescente quando
, concluímos que o limite é divergente para
.
Resposta
-\infty