O vetor posição de uma partícula em movimento é
.
Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando
percorre o intervalo
. Justifique a sua resposta.
Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o vetor posição de uma partícula em movimento, que é dado por
. A gente precisa descobrir se existem pontos em uma circunferência que a partícula nunca alcança quando
varia de
a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas paramétricas e circunferências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a trajetória da partícula. A posição
é dada por duas funções de
: uma para a coordenada
e outra para a coordenada
. Vamos chamar:
Passo 3
Agora, para descobrir a forma da trajetória, vamos tentar eliminar o parâmetro
. Uma maneira de fazer isso é usar as duas equações e relacioná-las. Vamos começar somando
e
.
Passo 4
Observe que:
Vamos calcular
:
Passo 5
Simplificando a expressão:
E percebemos que
, então:
Passo 6
Isso significa que a trajetória da partícula satisfaz a equação
, que é a equação de uma circunferência de raio 1 com centro na origem.
Passo 7
Agora, queremos saber se todos os pontos dessa circunferência são alcançados pela partícula quando
varia de
a
. Vamos analisar os limites quando
tende ao infinito e a
.
Passo 8
Quando
ou
:
Então,
.
Passo 9
Isso mostra que, embora
seja um ponto da circunferência, ele nunca é realmente alcançado pela partícula; a partícula se aproxima desse ponto, mas nunca o atinge exatamente.
Passo 10
Portanto, o único ponto na circunferência que não é ocupado pela partícula é
.
Resposta
A partícula nunca atinge o ponto
na circunferência quando
varia de
a
.