O vetor posição de uma partícula em movimento é sigma(t)=(1-t^21+t^2, 2 t1+t^2).
Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando t percorre o intervalo (-infty,+infty). Justifique a sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o vetor posição de uma partícula em movimento, que é dado por sigma(t) = (1-t^21+t^2, 2t1+t^2). A gente precisa descobrir se existem pontos em uma circunferência que a partícula nunca alcança quando t varia de -infty a +infty. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre curvas paramétricas e circunferências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a trajetória da partícula. A posição sigma(t) é dada por duas funções de t: uma para a coordenada x e outra para a coordenada y. Vamos chamar:
x = 1 - t^21 + t^2
y = 2t1 + t^2

Passo 3

Agora, para descobrir a forma da trajetória, vamos tentar eliminar o parâmetro t. Uma maneira de fazer isso é usar as duas equações e relacioná-las. Vamos começar somando x e y.

Passo 4

Observe que:
x = 1 - t^21 + t^2 e y = 2t1 + t^2
Vamos calcular x^2 + y^2:
x^2 + y^2 = (1 - t^21 + t^2)^2 + (2t1 + t^2)^2

Passo 5

Simplificando a expressão:
x^2 + y^2 = (1 - t^2)^2 + (2t)^2(1 + t^2)^2 = 1 - 2t^2 + t^4 + 4t^2(1 + t^2)^2 = 1 + 2t^2 + t^4(1 + t^2)^2
E percebemos que 1 + 2t^2 + t^4 = (1 + t^2)^2, então:
x^2 + y^2 = (1 + t^2)^2(1 + t^2)^2 = 1

Passo 6

Isso significa que a trajetória da partícula satisfaz a equação x^2 + y^2 = 1, que é a equação de uma circunferência de raio 1 com centro na origem.

Passo 7

Agora, queremos saber se todos os pontos dessa circunferência são alcançados pela partícula quando t varia de -infty a +infty. Vamos analisar os limites quando t tende ao infinito e a -infty.

Passo 8

Quando t to infty ou t to -infty:
x = 1 - t^21 + t^2 approx -t^2t^2 = -1
y = 2t1 + t^2 approx 2tt^2 = 2t to 0
Então, sigma(t) to (-1, 0).

Passo 9

Isso mostra que, embora (-1, 0) seja um ponto da circunferência, ele nunca é realmente alcançado pela partícula; a partícula se aproxima desse ponto, mas nunca o atinge exatamente.

Passo 10

Portanto, o único ponto na circunferência que não é ocupado pela partícula é (-1, 0).

Resposta

A partícula nunca atinge o ponto (-1, 0) na circunferência quando t varia de -infty a +infty.

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