Esboce o gráfico e determine:
para
Passo 1
Neste exercício temos uma função definida por partes e queremos esboçar o gráfico e calcular o limite quando x tende a zero. O conteúdo principal é limite de funções e funções definidas por partes; vamos precisar calcular os limites laterais e depois unir as receitas para desenhar cada ramo.
Passo 2
Para calcular o limite pelo lado direito, observe que para x>0 vale f(x)=√x+1. Como sabemos que √x tende a zero quando x→0⁺, temos:
Para calcular o limite pelo lado esquerdo, note que para x≤0 vale f(x)=sen(x)+1. Sabemos que a função seno é contínua em zero e sen(0)=0, então:
Passo 3
Como os limites laterais são iguais (ambos 1), o limite geral existe e é 1. Além disso, f(0)=sen(0)+1=1, o que mostra continuidade em x=0.
Passo 4
Para esboçar o gráfico faça o seguinte: (a) Para x≤0 desenhe a curva y=sen(x)+1, que é o seno deslocado 1 unidade para cima, marcando um ponto fechado em (0,1). (b) Para x>0 desenhe a curva y=√x+1, que parte de (0,1) com ponto aberto e cresce suavemente. O gráfico resultante é contínuo em x=0 porque ambos os ramos se encontram em (0,1).
Resposta
1