Esboce o gráfico e determine:
lim x 0 f(x) para f(x)= raizx+1 & x>0 sen(x)+1 & x <= 0

Passo 1

Neste exercício temos uma função definida por partes e queremos esboçar o gráfico e calcular o limite quando x tende a zero. O conteúdo principal é limite de funções e funções definidas por partes; vamos precisar calcular os limites laterais e depois unir as receitas para desenhar cada ramo.

Passo 2

Para calcular o limite pelo lado direito, observe que para x>0 vale f(x)=√x+1. Como sabemos que √x tende a zero quando x→0⁺, temos: limxto0^+f(x)=limxto0^+(raizx+1)=0+1=1
Para calcular o limite pelo lado esquerdo, note que para x≤0 vale f(x)=sen(x)+1. Sabemos que a função seno é contínua em zero e sen(0)=0, então: limxto0^-f(x)=limxto0^-(sin(x)+1)=0+1=1

Passo 3

Como os limites laterais são iguais (ambos 1), o limite geral existe e é 1. Além disso, f(0)=sen(0)+1=1, o que mostra continuidade em x=0.

Passo 4

Para esboçar o gráfico faça o seguinte: (a) Para x≤0 desenhe a curva y=sen(x)+1, que é o seno deslocado 1 unidade para cima, marcando um ponto fechado em (0,1). (b) Para x>0 desenhe a curva y=√x+1, que parte de (0,1) com ponto aberto e cresce suavemente. O gráfico resultante é contínuo em x=0 porque ambos os ramos se encontram em (0,1).

Resposta

1

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