Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 36, faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede a antidiferenciação (integral indefinida) da função fornecida e também que se verifique o resultado calculando a derivada da primitiva. A integral dada é
Observação: interpretei
como o seno usual, isto é,
. Portanto vou trabalhar com
Passo 2
Lembretes essenciais (fórmulas e ideias que vou usar):
- Derivadas básicas:
- Daí seguem as antiderivadas básicas (invertendo o papel da derivada):
- Linearidade da integral: constantes podem sair da integral e a integral de soma é soma das integrais:
onde
e
são constantes.
Passo 3
Aplicando a linearidade à nossa integral, escrevo-a como soma de duas integrais:
Agora uso as antiderivadas básicas indicadas no passo anterior:
- Para
tenho . - Para
tenho .
Portanto
Passo 4
Somando as duas partes e lembrando da constante de integração
, obtenho a primitiva geral:
Passo 5
Verificação calculando a derivada de
para confirmar que volta à função integranda:
Como a derivada de
é exatamente a função dentro da integral, a primitiva está correta.
Passo 6
Dica final e armadilhas comuns: cuidado com o sinal ao integrar
— a integral de
é
, ou seja, troca de sinal. Sempre que tiver constantes multiplicando as funções, pode puxá-las para fora da integral (isso simplifica muito as contas). Força aí — você já sabe fazer esse tipo direto na prova.