Faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 36, faça a antidiferenciação. Nos Exercícios de 1 a 8, de 15 a 18 e de 31 a 34, verifique o resultado, calculando a derivada de sua resposta.
int(5 \cos x-4 \operatorname{sen} x) d x

Passo 1

O enunciado pede a antidiferenciação (integral indefinida) da função fornecida e também que se verifique o resultado calculando a derivada da primitiva. A integral dada é
\int\bigl(5\cos x - 4\operatorname{sen} x\bigr)\,dx.
Observação: interpretei \operatorname{sen}x como o seno usual, isto é, \sin x. Portanto vou trabalhar com
\int\bigl(5\cos x - 4\sin x\bigr)\,dx.

Passo 2

Lembretes essenciais (fórmulas e ideias que vou usar):
  • Derivadas básicas:
\frac{d}{dx}\sin x=\cos x,\qquad \frac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • Daí seguem as antiderivadas básicas (invertendo o papel da derivada):
\int \cos x\,dx=\sin x,\qquad \int \sin x\,dx=-\cos x.
  • Linearidade da integral: constantes podem sair da integral e a integral de soma é soma das integrais:
\int \bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes.

Passo 3

Aplicando a linearidade à nossa integral, escrevo-a como soma de duas integrais:
\int\bigl(5\cos x - 4\sin x\bigr)\,dx = 5\int\cos x\,dx \;-\; 4\int\sin x\,dx.
Agora uso as antiderivadas básicas indicadas no passo anterior:
  • Para \int\cos x\,dx tenho \sin x.
  • Para \int\sin x\,dx tenho -\cos x.
Portanto
5\int\cos x\,dx = 5\sin x, \qquad -4\int\sin x\,dx = -4(-\cos x)=4\cos x.

Passo 4

Somando as duas partes e lembrando da constante de integração C, obtenho a primitiva geral:
F(x)=5\sin x + 4\cos x + C.

Passo 5

Verificação calculando a derivada de F(x) para confirmar que volta à função integranda:
\frac{d}{dx}\bigl(5\sin x + 4\cos x + C\bigr) = 5\cos x + 4(-\sin x) + 0 = 5\cos x - 4\sin x.
Como a derivada de F é exatamente a função dentro da integral, a primitiva está correta.

Passo 6

Dica final e armadilhas comuns: cuidado com o sinal ao integrar \sin x — a integral de \sin x é -\cos x, ou seja, troca de sinal. Sempre que tiver constantes multiplicando as funções, pode puxá-las para fora da integral (isso simplifica muito as contas). Força aí — você já sabe fazer esse tipo direto na prova.

Resposta

5\sin x + 4\cos x + C

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