Faça o balanceamento das equações:
\mathrm{MnO}_{4}+\mathrm{Al} \rightarrow \mathrm{Mn}+\mathrm{Al}_{2} \mathrm{O}_{3}

Passo 1

O enunciado pede para balancear a equação
\mathrm{MnO}_{4}+\mathrm{Al}\rightarrow\mathrm{Mn}+\mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3}.
Informações dadas:
  • Reagentes: \mathrm{MnO}_{4} e \mathrm{Al}.
  • Produtos: \mathrm{Mn} e \mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3}.
  • Queremos encontrar coeficientes estequiométricos inteiros que deixem iguais os números de átomos de cada elemento em ambos os lados (Mn, O, Al).
  • Não há outras espécies (H, O2, íons, etc.) indicadas no enunciado.

Passo 2

Vamos introduzir coeficientes desconhecidos inteiros para cada espécie, assim ficam mais fáceis as contas:
a\,\mathrm{MnO}_{4} + b\,\mathrm{Al} \rightarrow c\,\mathrm{Mn} + d\,\mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3}.
Aqui:
  • a é o número de moléculas de \mathrm{MnO}_{4},
  • b é o número de átomos/átomos-molécula de \mathrm{Al},
  • c é o número de átomos de \mathrm{Mn} formados,
  • d é o número de moléculas de \mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3}.

Passo 3

Balanceamento do elemento \mathrm{Mn}.
Cada \mathrm{MnO}_{4} tem um átomo de Mn e cada produto \mathrm{Mn} tem um átomo de Mn. Então o número total de átomos de Mn em cada lado dá a equação
a = c.
Isso significa que o coeficiente de \mathrm{Mn} (ou seja c) deve ser igual ao coeficiente a de \mathrm{MnO}_{4}.

Passo 4

Balanceamento do elemento \mathrm{O}.
Cada molécula de \mathrm{MnO}_{4} tem 4 átomos de oxigênio e cada molécula de \mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3} tem 3 átomos de oxigênio. Portanto:
4a = 3d.
Essa equação diz que o total de oxigênios trazidos por a moléculas de \mathrm{MnO}_{4} (que é 4a) deve ser igual ao total de oxigênios contidos em d moléculas de \mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3} (que é 3d).

Passo 5

Balanceamento do elemento \mathrm{Al}.
Cada molécula de \mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3} contém 2 átomos de alumínio, e no reagente cada unidade de alumínio é um átomo \mathrm{Al}. Logo:
b = 2d.
Ou seja, o número de átomos de alumínio b deve ser o dobro de d.

Passo 6

Resolver o sistema e escolher a menor solução inteira positiva.
Temos as três equações:
a = c,\qquad 4a = 3d,\qquad b = 2d.
Para obter coeficientes inteiros, 4a precisa ser múltiplo de 3. O menor inteiro positivo a que torna 4a divisível por 3 é a=3, porque 4\cdot 3=12 e 12 é múltiplo de 3. Então tomamos:
a=3.
Daí, usando 4a=3d:
4\cdot 3 = 3d \implies 12 = 3d \implies d = 4.
Com d=4, usando b=2d:
b = 2\cdot 4 = 8.
E como c=a:
c = 3.
Portanto os coeficientes inteiros mínimos que satisfazem todas as equações são a=3, b=8, c=3, d=4.

Passo 7

Escrever a equação com os coeficientes encontrados e checar rapidamente:
Substituindo os coeficientes obtemos
3\,\mathrm{MnO}_{4} + 8\,\mathrm{Al} \rightarrow 3\,\mathrm{Mn} + 4\,\mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3}.
Verificação de átomos:
  • Mn: 3 à esquerda, 3 à direita.
  • O: 3\cdot 4 = 12 à esquerda, 4\cdot 3 = 12 à direita.
  • Al: 8 à esquerda, 4\cdot 2 = 8 à direita.
    Tudo confere, e os coeficientes são os menores inteiros positivos possíveis.

Resposta

3\,\mathrm{MnO}_{4} + 8\,\mathrm{Al} \rightarrow 3\,\mathrm{Mn} + 4\,\mathrm{Al}_{2}\mathrm{O}_{3}

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