Faça uma breve descrição sobre o modelo atômico de Bohr, destacando as premissas usadas e os principais resultados encontrados.
Que dependência a energia total tem com o número quântico n ?

Passo 1

O enunciado pede uma breve descrição do modelo atômico de Bohr, destacando suas premissas e principais resultados, e em seguida queremos saber como a energia total do elétron depende do número quântico principal n. O conteúdo envolve conceitos de átomo de hidrogênio clássico-quantizado e quantização de momento angular.

Passo 2

As premissas fundamentais do modelo de Bohr são:
  1. O elétron descreve órbitas circulares ao redor do núcleo sob ação da força coulombiana, sem irradiar energia.
  2. Apenas são permitidas órbitas em que o momento angular do elétron é um múltiplo inteiro de \hbar:
m_e v r = n\,\hbar,\quad n=1,2,3,\dots
  1. Transições entre essas órbitas quantizadas levam à emissão ou absorção de fótons de energia igual à diferença de energia entre níveis.

Passo 3

Dos pressupostos acima seguem-se resultados-chave:
  • Raios das órbitas permitidas:
r_n = \frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{m_e e^2}\,n^2 = a_0\,n^2,
onde a_0 é o raio de Bohr.
  • Velocidade do elétron em cada órbita:
v_n = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar}\,\frac{1}{n}.
  • Espectro de linhas do átomo de hidrogênio, com frequências
\nu = \frac{E_{n_i}-E_{n_f}}{h}\quad(n_i>n_f).

Passo 4

Para obter a energia total do elétron em cada órbita, somamos a energia cinética e potencial no modelo clássico:
E_n = K_n + U_n = \frac12 m_e v_n^2 - \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r_n}.
Substituindo v_n e r_n e simplificando, chega-se ao resultado
E_n = -\,\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\,\frac{1}{n^2}.

Resposta

A energia total do elétron no modelo de Bohr depende do número quântico principal n como
E_n \propto -\frac{1}{n^2}\,,
especificamente
E_n = -\,\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\,\frac{1}{n^2}\approx -\frac{13,6\text{ eV}}{n^2}\,.

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