1. Sommerfeld incluiu efeitos relativísticos no modelo de N. Bohr e conseguiu explicar a presença das sublinhas nos espectros atômicos. Que expressão matemática para energia relativística foi obtida por Sommerfeld? A demonstração desta relação foi solicitada em sala de aula.
  2. Olhando para a equação da energia da questão 37, que fator evidencia a correção relativística? Qual o significado da constante de estrutura fina que aparece nele?
  3. Descrevas alguns pontos positivos e negativos do modelo deste modelo.

Passo 1

O enunciado trata do modelo atômico de Sommerfeld, que é uma extensão relativística do modelo de Bohr. Vamos precisar das noções de mecânica analítica relativística, quantização de ações (condições de Sommerfeld) e expansão em série da energia para obter a correção de ordem relativística e identificar o papel da constante de estrutura fina.

Passo 2

Sommerfeld obteve para a energia dos níveis eletrônicos, em primeira aproximação relativística, a expressão
E_{n,j} = -\,\frac{\mu c^2\,(Z\alpha)^2}{2\,n^2}\, \biggl[\,1 +\frac{(Z\alpha)^2}{n}\Bigl(\frac{1}{\,j+\tfrac12\,}-\frac{3}{4\,n}\Bigr) \biggr]
onde \mu é a massa reduzida, Z é o número atômico, n o número quântico principal e j o momento angular total clássico (em unidades de \hbar).

Passo 3

O fator que evidencia a correção relativística é o termo proporcional a (Z\alpha)^4, ou seja, a presença de (Z\alpha)^2/n dentro dos colchetes. A constante de estrutura fina
\alpha = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c}\approx\frac{1}{137}
mede a intensidade da interação eletromagnética; aqui, seu quadrado \alpha^2 indica a ordem de grandeza da correção relativística na energia.

Passo 4

Pontos positivos e negativos do modelo de Sommerfeld:
Positivos
  • Explica qualitativamente o desdobramento fino (fine structure) das linhas espectrais.
  • Introduz órbitas elípticas e quantização das ações radiais e angulares.
  • Mostra como efeitos relativísticos deslocam os níveis de energia, em concordância com observações.
Negativos
  • É semi-clássico: não inclui spin do elétron nem efeitos de emissão/absorção quântica de fótons.
  • Não prevê o deslocamento Lamb nem correções QED.
  • Falha em explicar intensidades relativas das linhas e regras de seleção completas.

Resposta

  1. \displaystyle E_{n,j} = -\frac{\mu c^2\,(Z\alpha)^2}{2n^2}\Bigl[1 +\frac{(Z\alpha)^2}{n}\bigl(\tfrac{1}{j+1/2}-\tfrac{3}{4n}\bigr)\Bigr].
  2. O fator (Z\alpha)^2 (e em especial o termo de ordem (Z\alpha)^4) evidencia a correção relativística. A constante \alpha=\tfrac{e^2}{4\pi\varepsilon_0\hbar c} é a intensidade da interação eletromagnética, definindo a escala da estrutura fina.
  3. Pontos positivos: explica qualitativamente a fine structure e usa quantização de ações elípticas; negativos: é semi-clássico, não inclui spin nem efeitos QED (Lamb shift) e não trata intensidades e regras de seleção de forma completa.

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