- Sommerfeld incluiu efeitos relativísticos no modelo de N. Bohr e conseguiu explicar a presença das sublinhas nos espectros atômicos. Que expressão matemática para energia relativística foi obtida por Sommerfeld? A demonstração desta relação foi solicitada em sala de aula.
- Olhando para a equação da energia da questão 37, que fator evidencia a correção relativística? Qual o significado da constante de estrutura fina que aparece nele?
- Descrevas alguns pontos positivos e negativos do modelo deste modelo.
Passo 1
O enunciado trata do modelo atômico de Sommerfeld, que é uma extensão relativística do modelo de Bohr. Vamos precisar das noções de mecânica analítica relativística, quantização de ações (condições de Sommerfeld) e expansão em série da energia para obter a correção de ordem relativística e identificar o papel da constante de estrutura fina.
Passo 2
Sommerfeld obteve para a energia dos níveis eletrônicos, em primeira aproximação relativística, a expressão
onde
é a massa reduzida,
é o número atômico,
o número quântico principal e
o momento angular total clássico (em unidades de
).
Passo 3
O fator que evidencia a correção relativística é o termo proporcional a
, ou seja, a presença de
dentro dos colchetes. A constante de estrutura fina
mede a intensidade da interação eletromagnética; aqui, seu quadrado
indica a ordem de grandeza da correção relativística na energia.
Passo 4
Pontos positivos e negativos do modelo de Sommerfeld:
Positivos
Positivos
- Explica qualitativamente o desdobramento fino (fine structure) das linhas espectrais.
- Introduz órbitas elípticas e quantização das ações radiais e angulares.
- Mostra como efeitos relativísticos deslocam os níveis de energia, em concordância com observações.
Negativos
- É semi-clássico: não inclui spin do elétron nem efeitos de emissão/absorção quântica de fótons.
- Não prevê o deslocamento Lamb nem correções QED.
- Falha em explicar intensidades relativas das linhas e regras de seleção completas.
Resposta
-
- O fator
(e em especial o termo de ordem ) evidencia a correção relativística. A constante é a intensidade da interação eletromagnética, definindo a escala da estrutura fina. - Pontos positivos: explica qualitativamente a fine structure e usa quantização de ações elípticas; negativos: é semi-clássico, não inclui spin nem efeitos QED (Lamb shift) e não trata intensidades e regras de seleção de forma completa.