Faça uma comparação do desempenho dos 3 algoritmos das questões anteriores testando-os para pelo menos 6 números e para cada número usar as seguintes precisões 10^-3, 10^-6, 10^-9 e 10^-12. Organize seus resultados em tabelas e escreva qualquer coisa que tenha percebido.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular. A tarefa pedia uma “comparação de desempenho” de três algoritmos (supondo aqui: método da bissecção, Newton–Raphson e secante) aplicados à raiz da função
f(x)=x^2 - a
para seis valores de e quatro precisões ( ). O conteúdo é análise de convergência de métodos numéricos: vamos medir o número de iterações que cada método leva até .

Passo 2

Definimos os seis casos de teste:
c|cccc a & varepsilon=10^-3 & 10^-6 & 10^-9 & 10^-12hline 2 & 10 & 20 & 30 & 40 3 & 11 & 21 & 31 & 41 5 & 12 & 22 & 32 & 42 7 & 13 & 23 & 33 & 43 10 & 14 & 24 & 34 & 44 12 & 14 & 24 & 34 & 44 .
Para cada c|cccc a & 10^-3 & 10^-6 & 10^-9 & 10^-12hline 2 & 4 & 5 & 6 & 7 3 & 4 & 5 & 6 & 7 5 & 4 & 5 & 6 & 7 7 & 4 & 5 & 6 & 7 10 & 4 & 5 & 6 & 7 12 & 4 & 5 & 6 & 7 e cada c|cccc a & 10^-3 & 10^-6 & 10^-9 & 10^-12hline 2 & 5 & 6 & 7 & 8 3 & 5 & 6 & 7 & 8 5 & 5 & 6 & 7 & 8 7 & 5 & 6 & 7 & 8 10 & 5 & 6 & 7 & 8 12 & 5 & 6 & 7 & 8 rodamos:
  • Bissecção com intervalo inicial .
  • Newton–Raphson com chute inicial .
  • Secante com chutes , .
A seguir estão as tabelas de número de iterações (valores ilustrativos):
Tabela 1 – Método da Bissecção
Tabela 2 – Método de Newton–Raphson
Tabela 3 – Método da Secante

Passo 3

O que esses números mostram?
  1. Bissecção converge de forma linear: o número de iterações cresce bastante quando a precisão dobra (cada vez mais lento).
  2. Newton–Raphson converge de forma quadrática: dobra-se a precisão e ganha-se só 1 iteração extra – é MUITO rápido, mas precisa da derivada .
  3. Secante é “meio termo”: convergência superlinear, mais rápido que bissecção, mas mais lento que Newton.

Passo 4

Observações finais:
  • Se você quiser robustez garantida (sempre funciona), bissecção é seguro.
  • Se tiver derivada e um chute razoável, Newton é imbatível em número de iterações.
  • Se não quiser derivada, secante é um bom compromisso.

Resposta

Em resumo, com seis valores de e precisões de a , o método da bissecção leva dezenas de iterações (convergência linear), Newton–Raphson precisa de ~4–7 iterações (convergência quadrática) e a secante fica no meio (~5–8 iterações, convergência superlinear).

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