O polinômio P(x)=x^4-2 x^3+2 x-2 possui duas raízes, uma positiva e outra negativa. Encontreas pelo método de Newton-Raphson. Indique a estimativa inicial (chute) que você escolher e apresente a sua solução até atinjir a precisão d-2e sua calculadora.

Passo 1

Beleza, então o nosso enunciado é:
“Temos o polinômio
P(x)=x^4-2x^3+2x-2
e queremos achar duas raízes reais (uma positiva e uma negativa) usando o método de Newton–Raphson. É pra indicar o chute inicial e iterar até a precisão aproximada de duas casas decimais (isto é, até variações em torno de 10^-2).”
Conteúdo: método de Newton–Raphson para achar raízes de funções. A gente vai precisar da fórmula da iteração
xn+1=xn-P(xn)P'(xn)
e da derivada
P'(x)=4x^3-6x^2+2,

Passo 2

Explicando a teoria do Newton–Raphson:
  1. Você escolhe um chute inicial x0.
  2. Calcula P(x0) e P'(x0).
  3. Faz
x1 = x0 - P(x0)P'(x0),
4) Repete até que |xn+1-xn| fique menor que a precisão desejada (aqui approx10^-2).
Por que isso funciona? A gente usa a reta tangente à curva y=P(x) em xn para aproximar o ponto onde essa reta corta o eixo x, e isso dá o próximo chute xn+1.

Passo 3

Encontrando a raiz positiva.
  1. Escolhemos x0=2 (um chute razoável, pois P(2)=2>0 e P(1)= -1<0).
  2. Calculamos iterativamente:
n=0:
P(2)=16-16+4-2=2, P'(2)=32-24+2=10
x1=2-210=1,8
n=1:
P(1,8)=1,8^4-2cdot1,8^3+2cdot1,8-2approx0,4336
P'(1,8)=4cdot1,8^3-6cdot1,8^2+2approx5,888
x2=1,8-0,43365,888approx1,7264
n=2:
P(1,7264)approx0,0448, P'(1,7264)approx4,7036
x3=1,7264-0,04484,7036approx1,7169
n=3:
P(1,7169)approx-0,0022, P'(1,7169)approx4,573
x4=1,7169--0,00224,573approx1,7174
A variação |x4-x3|approx0,0005<0,01, já tá na precisão de duas casas decimais.
Logo, a raiz positiva vale aproximadamente
xapprox1,72,

Passo 4

Achando a raiz negativa.
  1. Chute inicial x0=-1 (pois P(-1)=-1<0 e vimos que tem mudança de sinal).
n=0:
P(-1)=-1, P'(-1)=-8
x1=-1--1-8=-1,125
n=1:
P(-1,125)approx0,1994, P'(-1,125)approx-11,2886
x2=-1,125-0,1994-11,2886approx-1,1073
n=2:
P(-1,1073)approx0,0020, P'(-1,1073)approx-10,783
x3=-1,1073-0,0020-10,783approx-1,1071
Aqui |x3-x2|approx0,0002<0,01, bom para duas casas.
Então a raiz negativa fica aproximadamente
xapprox-1,11,

Resposta

Raiz positiva: ,xapprox1,72
Raiz negativa: ,xapprox-1,11

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