Usando a regra da cadeia para
calcule
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $. A função que temos é $ z = \tan\left(\frac{x}{y}\right) $, onde $ x = t^2 $ e $ y = \ln t $. Vamos usar a regra da cadeia para encontrar essa derivada. Então, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. Para encontrar $ \frac{dz}{dt} $, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois multiplicar por $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $, respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Sabemos que $ z = \tan\left(\frac{x}{y}\right) $. A derivada da tangente é $ \sec^2 $, e vamos usar a regra da cadeia para derivar em relação a $ x $:
Aqui, a derivada interna $ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right) $ é $ \frac{1}{y} $ porque $ y $ é tratado como constante em relação a $ x $.
Passo 4
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Novamente, $ z = \tan\left(\frac{x}{y}\right) $. Usando a regra da cadeia:
Aqui, a derivada interna $ \frac{d}{dy}\left(\frac{x}{y}\right) $ é $ -\frac{x}{y^2} $ porque $ x $ é tratado como constante em relação a $ y $.
Passo 5
Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Para $ x = t^2 $:
Para $ y = \ln t $:
Passo 6
Agora, vamos juntar tudo na fórmula da regra da cadeia:
Substituindo as expressões que encontramos:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar $ \sec^2\left(\frac{x}{y}\right) $:
Passo 8
Agora, substituímos $ x = t^2 $ e $ y = \ln t $ na expressão:
Simplificando $ \frac{t^2}{t} = t $:
Resposta
A derivada de $ z $ em relação a $ t $ é: