Usando a regra da cadeia para z=f(x, y) calcule d zd t :
z=tg(xy), x=t^2, y=ln t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada de $ z $ em relação a $ t $, ou seja, $ \frac{dz}{dt} $. A função que temos é $ z = \tan\left(\frac{x}{y}\right) $, onde $ x = t^2 $ e $ y = \ln t $. Vamos usar a regra da cadeia para encontrar essa derivada. Então, vamos precisar saber sobre derivadas parciais e como aplicar a regra da cadeia em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que $ z $ depende de $ x $ e $ y $, que por sua vez dependem de $ t $. Para encontrar $ \frac{dz}{dt} $, usamos a regra da cadeia para funções de várias variáveis:
z
Isso significa que vamos calcular as derivadas parciais de $ z $ em relação a $ x $ e $ y $, e depois multiplicar por $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $, respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular $ \frac{\partial z}{\partial x} $. Sabemos que $ z = \tan\left(\frac{x}{y}\right) $. A derivada da tangente é $ \sec^2 $, e vamos usar a regra da cadeia para derivar em relação a $ x $:
partial zpartial x
Aqui, a derivada interna $ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{y}\right) $ é $ \frac{1}{y} $ porque $ y $ é tratado como constante em relação a $ x $.

Passo 4

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial z}{\partial y} $. Novamente, $ z = \tan\left(\frac{x}{y}\right) $. Usando a regra da cadeia:
partial zpartial y
Aqui, a derivada interna $ \frac{d}{dy}\left(\frac{x}{y}\right) $ é $ -\frac{x}{y^2} $ porque $ x $ é tratado como constante em relação a $ y $.

Passo 5

Vamos calcular $ \frac{dx}{dt} $ e $ \frac{dy}{dt} $.
Para $ x = t^2 $:
dxdt
Para $ y = \ln t $:
dydt

Passo 6

Agora, vamos juntar tudo na fórmula da regra da cadeia:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Substituindo as expressões que encontramos:
dzdt = [ sec^2(xy) cdot 1y ] cdot 2t + [ sec^2(xy) cdot (-xy^2) ] cdot 1t

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
dzdt = 2ty cdot sec^2(xy) - xt y^2 cdot sec^2(xy)
Podemos fatorar $ \sec^2\left(\frac{x}{y}\right) $:
sec^2(xy)

Passo 8

Agora, substituímos $ x = t^2 $ e $ y = \ln t $ na expressão:
x = t^2
Simplificando $ \frac{t^2}{t} = t $:
y = ln t

Resposta

A derivada de $ z $ em relação a $ t $ é:
z

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