9.4.3 TEOREMA

(a) Se sum uk e sum vk forem séries convergentes, então sum(uk+vk) e sum(uk-vk) serão séries convergentes, e as somas dessas séries estarão relacionadas por
& sumk=1^infty(uk+vk)=sumk=1^infty uk+sumk=1^infty vk & sumk=1^infty(uk-vk)=sumk=1^infty uk-sumk=1^infty vk
(b) Se a for uma constante não nula, então ambas as séries, sum uk e sum a uk convergirão ou divergirão. No caso de convergência, as somas estarão relacionadas por
sumk=1^infty a uk=a sumk=1^infty uk
© A convergência ou a divergência não é afetada pela retirada de um número finito de termos de uma série; em particular, dado qualquer número inteiro positivo K, as séries
& sumk=1^infty uk=u1+u2+u3+cdots & sumk=K^infty uk=uK+uK+1+uK+2+cdots
ambas convergem ou ambas divergem.
  1. Use o Teorema 9.4.3 para encontrar a soma da série.
    (a) (12+14)+(12^2+14^2)+cdots+(12^k+14^k)+cdots

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o Teorema 9.4.3, que trata da linearidade de séries convergentes, para calcular a soma da série
sumk=1^inftyl(tfrac12^k+tfrac14^kr)
Vamos precisar saber que se duas séries convergem, então a soma termo a termo também converge, e usar a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Pela propriedade de linearidade de séries (parte (a) do Teorema 9.4.3), podemos escrever
sumk=1^inftyl(tfrac12^k+tfrac14^kr)=sumk=1^inftytfrac12^k+sumk=1^inftytfrac14^k

Passo 3

Cada uma das séries acima é geométrica. Para uma série geométrica de primeiro termo a e razão r com |r|<1, vale
sumk=1^inftyar^k-1=a1-r
Aqui reindexamos para caber em sumk=1^infty a r^k=tfracar1-r

Passo 4

No nosso caso, temos duas séries: a primeira com termo geral tfrac12^k, que é geométrica de razão r=tfrac12 e “primeiro termo” tfrac12; e a segunda com termo geral tfrac14^k, de razão r=tfrac14 e “primeiro termo” tfrac14. Assim,
sumk=1^inftytfrac12^k=tfrac121-tfrac12=1,
sumk=1^inftytfrac14^k=tfrac141-tfrac14=13

Passo 5

Somando os resultados, obtemos
sumk=1^inftyl(tfrac12^k+tfrac14^kr)=1+tfrac13=tfrac43

Resposta

tfrac43

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