9.4.3 TEOREMA
(a) Se
forem séries convergentes, então
serão séries convergentes, e as somas dessas séries estarão relacionadas por
(b) Se a for uma constante não nula, então ambas as séries,
convergirão ou divergirão. No caso de convergência, as somas estarão relacionadas por
© A convergência ou a divergência não é afetada pela retirada de um número finito de termos de uma série; em particular, dado qualquer número inteiro positivo
, as séries
ambas convergem ou ambas divergem.
- Use o Teorema 9.4.3 para encontrar a soma da série.
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para usarmos o Teorema 9.4.3, que trata da linearidade de séries convergentes, para calcular a soma da série
Vamos precisar saber que se duas séries convergem, então a soma termo a termo também converge, e usar a fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Pela propriedade de linearidade de séries (parte (a) do Teorema 9.4.3), podemos escrever
Passo 3
Cada uma das séries acima é geométrica. Para uma série geométrica de primeiro termo
e razão
com
, vale
Aqui reindexamos para caber em
Passo 4
No nosso caso, temos duas séries: a primeira com termo geral
, que é geométrica de razão
e “primeiro termo”
; e a segunda com termo geral
, de razão
e “primeiro termo”
. Assim,
Passo 5
Somando os resultados, obtemos