Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais).
Passo 1
O enunciado pede que eu faça uma conjectura sobre o valor do limite por meio dos valores da função nos números dados, com precisão de seis casas decimais. A função é
e o limite a investigar é
Vou aproximar
de
pela esquerda (isto é, com
) escolhendo uma sequência de pontos que se aproximam de
vindo da esquerda. Os pontos que vou usar são
A ideia é calcular
nesses pontos (com seis casas decimais) e observar a tendência para formular a conjectura.
Passo 2
Antes de calcular: o que significa “aproximar pela esquerda”? Significa que consideramos valores de
menores que
que vão ficando cada vez mais próximos de
. Um limite unilaterial
descreve o comportamento de
quando
se aproxima de
por valores menores que
.
Também é útil notar algebraicamente que, ao substituir
diretamente em
, o denominador fica zero e obtemos uma forma de divisão por zero:
o que não é definido. Por isso usamos valores próximos para inferir o comportamento.
Passo 3
Calculemos
nos pontos escolhidos, mostrando as contas e entregando cada valor com seis casas decimais.
Para
:
Com seis casas decimais:
.
Passo 4
Para
:
Com seis casas decimais:
.
Passo 5
Para
:
Com seis casas decimais:
.
Passo 6
Para
:
Com seis casas decimais:
.
Passo 7
Para
:
Com seis casas decimais:
.
Passo 8
Interpretação dos resultados numéricos: à medida que
se aproxima de
vindo da esquerda, os valores
crescem muito:
. Ou seja, os valores ficam cada vez maiores e tendem a crescer sem limite superior.
Uma explicação algébrica rápida que ajuda a ver a tendência é decompor
:
Quando
, tem-se
(um número negativo muito pequeno). Então
, e assim
. Portanto
.
Passo 9
Conclusão (conjectura): com base nos valores calculados e na análise algébrica, a função cresce sem limite quando
se aproxima de
pela esquerda. Portanto o limite não existe como número finito; o comportamento é de divergência para
.