Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais).
\lim _{x \rightarrow-3^{-}} \frac{x+2}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede que eu faça uma conjectura sobre o valor do limite por meio dos valores da função nos números dados, com precisão de seis casas decimais. A função é
f(x)=\frac{x+2}{x+3},
e o limite a investigar é
\lim_{x\to-3^{-}} \frac{x+2}{x+3}.
Vou aproximar x de -3 pela esquerda (isto é, com x<-3) escolhendo uma sequência de pontos que se aproximam de -3 vindo da esquerda. Os pontos que vou usar são
x = -3{,}1,\;-3{,}01,\;-3{,}001,\;-3{,}0001,\;-3{,}000001.
A ideia é calcular f(x) nesses pontos (com seis casas decimais) e observar a tendência para formular a conjectura.

Passo 2

Antes de calcular: o que significa “aproximar pela esquerda”? Significa que consideramos valores de x menores que -3 que vão ficando cada vez mais próximos de -3. Um limite unilaterial \lim_{x\to-3^-} f(x) descreve o comportamento de f(x) quando x se aproxima de -3 por valores menores que -3.
Também é útil notar algebraicamente que, ao substituir x=-3 diretamente em f(x), o denominador fica zero e obtemos uma forma de divisão por zero:
f(-3)=\frac{-3+2}{-3+3}=\frac{-1}{0},
o que não é definido. Por isso usamos valores próximos para inferir o comportamento.

Passo 3

Calculemos f(x) nos pontos escolhidos, mostrando as contas e entregando cada valor com seis casas decimais.
Para x=-3{,}1:
x+2=-3{,}1+2=-1{,}1, \qquad x+3=-3{,}1+3=-0{,}1,
f(-3{,}1)=\frac{-1{,}1}{-0{,}1}=11.
Com seis casas decimais: f(-3{,}1)=11{,}000000.

Passo 4

Para x=-3{,}01:
x+2=-3{,}01+2=-1{,}01, \qquad x+3=-3{,}01+3=-0{,}01,
f(-3{,}01)=\frac{-1{,}01}{-0{,}01}=101.
Com seis casas decimais: f(-3{,}01)=101{,}000000.

Passo 5

Para x=-3{,}001:
x+2=-1{,}001, \qquad x+3=-0{,}001,
f(-3{,}001)=\frac{-1{,}001}{-0{,}001}=1001.
Com seis casas decimais: f(-3{,}001)=1001{,}000000.

Passo 6

Para x=-3{,}0001:
x+2=-1{,}0001, \qquad x+3=-0{,}0001,
f(-3{,}0001)=\frac{-1{,}0001}{-0{,}0001}=10001.
Com seis casas decimais: f(-3{,}0001)=10001{,}000000.

Passo 7

Para x=-3{,}000001:
x+2=-1{,}000001, \qquad x+3=-0{,}000001,
f(-3{,}000001)=\frac{-1{,}000001}{-0{,}000001}=1000001.
Com seis casas decimais: f(-3{,}000001)=1000001{,}000000.

Passo 8

Interpretação dos resultados numéricos: à medida que x se aproxima de -3 vindo da esquerda, os valores f(x) crescem muito: 11{,}000000,\;101{,}000000,\;1001{,}000000,\;10001{,}000000,\;1000001{,}000000. Ou seja, os valores ficam cada vez maiores e tendem a crescer sem limite superior.
Uma explicação algébrica rápida que ajuda a ver a tendência é decompor f(x):
\frac{x+2}{x+3}=\frac{(x+3)-1}{x+3}=1-\frac{1}{x+3}.
Quando x\to-3^{-}, tem-se x+3\to 0^{-} (um número negativo muito pequeno). Então \dfrac{1}{x+3}\to -\infty, e assim -\dfrac{1}{x+3}\to +\infty. Portanto 1-\dfrac{1}{x+3}\to +\infty.

Passo 9

Conclusão (conjectura): com base nos valores calculados e na análise algébrica, a função cresce sem limite quando x se aproxima de -3 pela esquerda. Portanto o limite não existe como número finito; o comportamento é de divergência para +\infty.

Resposta

+\infty

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