Faça a dedução da equação da indutância de um cilindro oco
Passo 1
Beleza, o exercício quer a dedução da fórmula da auto-indutância de um cilindro oco (de raio interno a e comprimento ℓ, com ℓ≫a):
Conteúdo: Eletromagnetismo—campo magnético gerado por correntes (Lei de Ampère), cálculo de fluxo magnético e energia magnética para achar a indutância. Vamos precisar de:
1) Lei de Ampère para achar B® fora do cilindro.
2) Entender que a indutância está ligada ao fluxo (ou à energia) associado ao campo da própria corrente.
3) Fazer uma integração desde o raio do tubo (a) até uma escala do tamanho do tubo (ℓ) e depois incluir a correção de “efeito de ponta” (o “–1”).
Passo 2
Primeiro, o campo magnético fora de um cilindro oco onde toda a corrente I corre na casca (espessura ≈0) vem direto da Lei de Ampère em caminhos circulares concêntricos:
Ou seja, para fora do tubo o campo decai como 1/r.
Passo 3
Agora vamos relacionar esse campo com a indutância. Dois caminhos equivalentes:
A) Calcular o fluxo magnético Φ ligado à corrente, e usar L=Φ/I.
B) Calcular a energia armazenada U=(1/2)LI² a partir de U=∫(B²/2μ₀)dV.
A) Calcular o fluxo magnético Φ ligado à corrente, e usar L=Φ/I.
B) Calcular a energia armazenada U=(1/2)LI² a partir de U=∫(B²/2μ₀)dV.
Vou seguir o método do fluxo (A), por ser mais direto. Imagine uma “folha” superfície que envolve o cilindro, cortando o espaço radial de r=a até r=R (R grande). Um elemento de área dessa folha tem dA=ℓ dr, e B atravessa perpendicularmente, então
Integramos de r=a até um limite R que representa onde as linhas de fluxo “se perdem”. Para um fio infinitamente longo seria R→∞ (divergente!), mas como nosso tubo tem comprimento ℓ, a gente acha que R é da ordem de ℓ. Então:
$$\Phi_{\rm ext}=\int_a^{R}\frac{\mu_0 I,\ell}{2\pi,r},dr
=\frac{\mu_0 I,\ell}{2\pi}\Bigl[\ln r\Bigr]_a^{,R}
=\frac{\mu_0 I,\ell}{2\pi}\ln!\frac{R}{a},.
L_{\rm ext}=\frac{\Phi_{\rm ext}}{I}=\frac{\mu_0,\ell}{2\pi}\ln!\frac{R}{a},. $$
Passo 4
Falta agora ajustar o “efeito de ponta” – ou seja, reconhecer que R não é ∞ e que perto das extremidades do tubo o campo “escapa” antes de chegar até r=ℓ de forma pura. Uma análise mais completa (ou experimentos e cálculos usando a energia magnética) mostra que esse valor de ln(R/a) deve virar
o “–1” entra como correção de fim de tubo e o “2ℓ” como escala efetiva de distâncias das linhas de campo acabando nas pontas.
Resposta
Juntando tudo, obtemos a fórmula final da indutância de um cilindro oco comprido: