Um disco circular raio a e centralizado na origem, está carregado com uma distribuição de carga dada por rhos=1 / r C / m^2. Calcule o potencial em ( 0,0, h ).

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos um disco fino de raio rhos(r)=1r;C/m^2 , centrado na origem e no plano . A densidade de carga varia com como
A gente quer encontrar o potencial elétrico no ponto . Esse assunto é de Eletrostática, mais especificamente potencial gerado por uma distribuição de carga superficial. Para resolver, vamos precisar da fórmula do potencial de uma superfície carregada e usar coordenadas cilíndricas para montar e calcular a integral.

Passo 2

Teoria básica: o potencial criado por uma carga superficial V(r) ;=; 14pivarepsilon0,integral duplasuperfície sigma(r')l|r-r'r|,dA' é
í
Aqui é o ponto de observação, e varia sobre o disco no plano .

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas para o disco:
  • |r-r'| = raizr'^2 + h^2 é a distância radial no disco,
  • V(0,0,h) =14pivarepsilon0 integral0^2pi!!integral0^a 1/r'raizr'^2+h^2;r',dr',dphi o ângulo azimutal,
  • .
No ponto de observação a distância até um elemento é
E a densidade é . Então a integral vira

Passo 4

Simplificando o integrando: V=14pivarepsilon0, integral0^2pi!dphi;integral0^adr'raizr'^2+h^2 .
Então
integral0^2pidphi = 2pi
A integral em é trivial:

Passo 5

Fica só a parte radial:
integral0^adr'raizr'^2+h^2 =l[lnl(r' + raizr'^2+h^2r)r]0^a =lna+raiza^2+h^2h
(Aqui usei a primitiva .)

Passo 6

Juntando tudo:
V(0,0,h) =14pivarepsilon0;times 2pi;times ln!gl(a+raiza^2+h^2hgr) =12varepsilon0, ln!gl(a+raiza^2+h^2hgr)

Resposta

boxed,V(0,0,h) =12varepsilon0,ln!gl(a+raiza^2+h^2hgr),

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