Tem-se um capacitor de configuração esférica. Onde duas cascas condutoras concêntricas estão separadas por duas camadas de material isolante de mesma rigidez dielétrica e de diferentes valores de permissividade ( varepsilonr(int)=4 e varepsilonr( ext )=2 ). A casca central tem um raio de 0,2 m e cada camada dielétrica tem espessura de 0,1 m cada. Nessa condição a energia máxima que pode ser armazenada pelo capacitor vale Emax 1. Admitindo que a camada eterna tenha sua espessura dobrada, a energia máxima evolui para Emax 2. Determine a relação entre tais energias ( Emax / Emax 1 ).

Passo 1

Beleza, então o que o enunciado tá pedindo? A gente tem um capacitor esférico com duas camadas de dielétrico:
  • Camada interna (entre raio Emax2Emax1 m e m) com .
  • Camada externa (entre m e m) com .
O exercício define uma energia máxima armazenável quando a camada externa tem espessura m, e outra energia quando essa camada externa dobra de espessura (vai para m, então m). A gente precisa achar a razão
Conteúdo: capacitor esférico em série de dielétricos. Vamos precisar de
  1. Condição de ruptura — qual camada “pifa” primeiro?
  2. Cálculo de capacitância em série de dielétricos.
  3. Relação .

Passo 2

Primeiro, determinar o máximo de carga E(r) = Q4pi varepsilon0,varepsilonr,r^2 antes de romper algum dielétrico. A lei do campo elétrico radial diz, em cada camada:
E1(a) = Q4pivarepsilon0,varepsilonr1,a^2
A ruptura ocorre onde E2(a+t1) =Q4pivarepsilon0,varepsilonr2,(a+t1)^2, atinge a rigidez dielétrica Q1maxpropto varepsilonr1,a^2 = 4cdot(0,2)^2 = 4cdot0,04=0,16, primeiro. Como Q2maxpropto varepsilonr2,(0,3)^2 = 2cdot0,09=0,18 , a gente compara a camada interna (em Qmax1=Qmax2 =4pivarepsilon0,varepsilonr1,a^2,Ebd (idéia chave!) ) e a externa (em ):
  • Camada interna: Então .
  • Camada externa: então .
Substituindo números:
Como , a camada interna atinge primeiro. Logo
é

Passo 3

Agora a capacitância de um capacitor esférico com duas camadas em série:
1C =14pivarepsilon0l[ underbrace1varepsilonr1!integrala^a+t1!drr^2camada 1 + underbrace1varepsilonr2!integrala+t1^b!drr^2camada 2 r]
Fazendo a integral 1C =14pivarepsilon0l[ 1varepsilonr1l(1a-1a+t1r) + 1varepsilonr2l(1a+t1-1br) r] , dá

Passo 4

Vamos calcular numericamente esses denominadores para cada caso.
Dados:
a=0,2 m, t1=0,1 m, ε₀ não importa em razão, εr1=4, εr2=2.
Caso 1 (b=0,4 m):
D1 =14l(5 - 3,333dotsr) +12l(3,333dots - 2,5r) =512+512 =1012 =56 =0,8333dots
Caso 2 (b’=0,5 m):
D2 =14l(5 - 3,333dotsr) +12l(3,333dots - 2r) =512+812 =1312 =1,0833dots
Como C1C2=D2D1 =tfrac1312tfrac56 =1312cdot65 =1310 =1,3 , temos

Passo 5

Por fim, a energia máxima é
Emax=Qmax^22C
Como Emax2Emax1 =Q^2/(2C2)Q^2/(2C1) =C1C2 =1,3 é o mesmo nos dois casos,

Resposta

boxedEmax2Emax1 = 1,3

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