Tem-se um capacitor de configuração esférica. Onde duas cascas condutoras concêntricas estão separadas por duas camadas de material isolante de mesma rigidez dielétrica e de diferentes valores de permissividade ( e ). A casca central tem um raio de e cada camada dielétrica tem espessura de cada. Nessa condição a energia máxima que pode ser armazenada pelo capacitor vale . Admitindo que a camada eterna tenha sua espessura dobrada, a energia máxima evolui para . Determine a relação entre tais energias ( ).
Passo 1
Beleza, então o que o enunciado tá pedindo? A gente tem um capacitor esférico com duas camadas de dielétrico:
Camada interna (entre raio m e m) com .
Camada externa (entre m e m) com .
O exercício define uma energia máxima armazenável quando a camada externa tem espessura m, e outra energia quando essa camada externa dobra de espessura (vai para m, então m). A gente precisa achar a razão
Conteúdo: capacitor esférico em série de dielétricos. Vamos precisar de
Condição de ruptura — qual camada “pifa” primeiro?
Cálculo de capacitância em série de dielétricos.
Relação .
Passo 2
Primeiro, determinar o máximo de carga antes de romper algum dielétrico. A lei do campo elétrico radial diz, em cada camada:
A ruptura ocorre onde atinge a rigidez dielétrica primeiro. Como , a gente compara a camada interna (em ) e a externa (em ):
Camada interna:Então .
Camada externa:então .
Substituindo números:
Como , a camada interna atinge primeiro. Logo
Passo 3
Agora a capacitância de um capacitor esférico com duas camadas em série:
Fazendo a integral 1C =14pivarepsilon0l[ 1varepsilonr1l(1a-1a+t1r) + 1varepsilonr2l(1a+t1-1br) r] , dá
Passo 4
Vamos calcular numericamente esses denominadores para cada caso.
Dados:
a=0,2 m, t1=0,1 m, ε₀ não importa em razão, εr1=4, εr2=2.