Faça as divisões polinomiais ( \mathbf{1 , 5} pt cada)
\frac{x^{5}-2 x^{4}+x^{2}-3}{x^{2}-x+1}

Passo 1

O enunciado pede que a gente divida o polinômio dado pelo polinômio divisor e apresente o resultado da divisão. As informações fornecidas são:
\text{dividendo } = x^{5}-2x^{4}+x^{2}-3
\text{divisor } = x^{2}-x+1
Queremos encontrar o quociente e o resto da divisão polinomial, ou seja escrever a divisão na forma
\frac{\text{dividendo}}{\text{divisor}} = \text{quociente} + \frac{\text{resto}}{\text{divisor}}.

Passo 2

Explicação rápida do método (divisão polinomial passo a passo): a ideia é análoga à divisão de números. Em cada passo:
  • Olhamos o termo de maior grau (termo líder) do que sobra do dividendo.
  • Dividimos esse termo líder pelo termo líder do divisor; o resultado é um termo do quociente.
  • Multiplicamos o divisor por esse termo do quociente e subtraímos do que sobra do dividendo.
  • Repetimos até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.
    Definições úteis:
\text{grau}(p(x)) = \text{maior potência de }x\text{ com coeficiente não nulo},êã
o termo líder é o coeficiente junto desse maior grau.

Passo 3

Organizamos o dividendo completando termos faltantes com coeficiente zero (isso facilita as contas):
x^{5}-2x^{4}+0x^{3}+x^{2}+0x-3.
O divisor é
x^{2}-x+1.

Passo 4

Primeiro passo da divisão:
  • Termo líder do que sobra: x^{5}. Termo líder do divisor: x^{2}.
  • Dividindo: \dfrac{x^{5}}{x^{2}} = x^{3}. Esse é o primeiro termo do quociente.
    Multiplicamos o divisor por x^{3}:
x^{3}\cdot(x^{2}-x+1)=x^{5}-x^{4}+x^{3}.
Subtraímos esse produto do dividendo organizado:
\bigl(x^{5}-2x^{4}+0x^{3}+x^{2}+0x-3\bigr)-\bigl(x^{5}-x^{4}+x^{3}\bigr).
Fazendo a subtração termo a termo:
x^{5}-x^{5}=0,\quad -2x^{4}-(-x^{4})=-x^{4},\quad 0x^{3}-x^{3}=-x^{3},
os outros termos descem iguais. Logo o novo resto é
-x^{4}-x^{3}+x^{2}+0x-3.

Passo 5

Segundo passo da divisão:
  • Termo líder do resto: -x^{4}. Dividido pelo termo líder do divisor x^{2} -x^{2}.
    Multiplicamos o divisor por -x^{2}:
- x^{2}\cdot(x^{2}-x+1) = -x^{4}+x^{3}-x^{2}.
Subtraímos do resto anterior:
\bigl(-x^{4}-x^{3}+x^{2}+0x-3\bigr)-\bigl(-x^{4}+x^{3}-x^{2}\bigr).
Subtraindo termo a termo:
-x^{4}-(-x^{4})=0,\quad -x^{3}-x^{3}=-2x^{3},\quad x^{2}-(-x^{2})=2x^{2}.
Portanto o novo resto é
-2x^{3}+2x^{2}+0x-3.

Passo 6

Terceiro passo da divisão:
  • Termo líder do resto: -2x^{3}. Dividido por x^{2} -2x.
    Multiplicamos o divisor por -2x:
-2x\cdot(x^{2}-x+1) = -2x^{3}+2x^{2}-2x.
Subtraímos:
\bigl(-2x^{3}+2x^{2}+0x-3\bigr)-\bigl(-2x^{3}+2x^{2}-2x\bigr).
Subtraindo termo a termo:
-2x^{3}-(-2x^{3})=0,\quad 2x^{2}-2x^{2}=0,\quad 0x-(-2x)=2x,\quad -3-0=-3.
O novo resto é
2x-3.

Passo 7

Parada: o resto 2x-3 tem grau 1, que é menor que o grau do divisor ( 2), então a divisão termina.
O quociente obtido juntando os termos dos passos foi
x^{3}-x^{2}-2x,
e o resto é
2x-3.
Podemos verificar rapidamente (checagem): calcular (\text{divisor})\cdot(\text{quociente}) + (\text{resto}).
Multiplicando:
(x^{2}-x+1)(x^{3}-x^{2}-2x)=x^{5}-2x^{4}+x^{2}+(-2x).
Somando o resto 2x-3 os termos em x cancelam e obtemos exatamente o dividendo:
x^{5}-2x^{4}+x^{2}-3.
Validado!

Resposta

\displaystyle x^{3}-x^{2}-2x+\frac{2x-3}{x^{2}-x+1}

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